Mathématiques - BFEM 2022

\(\textcolor{blue}{N°}\)	\(\textcolor{blue}{Questions}\)	\(\textcolor{blue}{Réponses}\)			\(\textcolor{blue}{Solutions}\)
\(\textcolor{blue}{N°}\)	\(\textcolor{blue}{Questions}\)	A	B	C	\(\textcolor{blue}{Solutions}\)
1	On considère deux angles \(\widehat{A}\) et \(\widehat{B}\) tels que : \(\widehat{A}\) = 90° - \(\widehat{B}\). Quelle relation a-t-on ?	\(cos\widehat{A} = cos\widehat{B}\)	\(cos\widehat{A} = sin\widehat{B}\)	\(sin\widehat{A} = sin\widehat{B}\)	\(\textcolor{green}{\textbf{1}\small{▶}}\)B
2	Soit MNP un triangle rectangle en N tel que MN = 6 cm et \(\widehat{MPN}\) = 30°. Quelle est la mesure de la longueur de [MP]?	\(3cm\)	\(12cm\)	\(6cm\)	\(\textcolor{orange}{\textbf{2}\small{▶}}\)B
3	On donne une droite (D) d'équation \(3y=6x+2\) dans un repère orthonormal. Quel est le coefficient directeur de la droite (D)?	\(\Large{\frac{3}{2}}\)	\(\Large{\frac{2}{3}}\)	\(2\)	\(\textcolor{red}{\textbf{3}\small{▶}}\)C
4	Soient \(\overrightarrow{u}(-3 ; 1)\) et \(\overrightarrow{v}(2 ; y)\) deux vecteurs du plan. Pour quelle valeur de y, les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et sont \(\overrightarrow{v}\) sont-ils colinéaires	\(y = \Large{-\frac{2}{3}}\)	\(y = \Large{-\frac{3}{2}}\)	\(y = -6\)	\(\textcolor{blue}{\textbf{4}\small{▶}}\)A
5	Dans un repère orthonormal, pour quelles valeurs de n les vecteurs \(\overrightarrow{u}(n ; 1)\) et \(\overrightarrow{v}(n ; -4)\) sont-ils orthogonaux ?	\(n=1\;ou\;n=4\)	\(n = 4\;ou\;n = -4\)	\(n=2\;ou\; n=-2\)	\(\textcolor{magenta}{\textbf{5}\small{▶}}\)C
6	Quelle est l'aire latérale A_l, d'un cône de révolution de génératrice g, de hauteur h et de rayon de base r?	\(πgh\)	\(πr²g\)	\(rgπ\)	\(\textcolor{Cyan}{\textbf{6}\small{▶}}\)C

\(\hspace{2,25cm}\textcolor{green}{\scriptsize{♣}}\;\textcolor{blue}{Résolvons\;dans\;IR\;l'équation\;:}\)

\(\hspace{2,75cm}On\;a\;:\;\;\textcolor{blue}{6x²\;-\;4x\;+\;5\;=\;-x²\;-\;4x\;+\;9.}\)

\(\hspace{2,75cm}\)⟺ 6x²−4x+5+x²+4x−9 = 0

\(\hspace{2,75cm}\)Il vient 7x²−4 = 0

\(\hspace{2,75cm}\)Par suite \((\)x\(\sqrt{7}\)+2\()(\)x\(\sqrt{7}\)−2\()\) = 0

\(\hspace{2,75cm}\)⟺ \(x\) = -2/\(\sqrt{7}\) ou \(x\) = 2/\(\sqrt{7}\)

\(\hspace{2,75cm}\)Par conséquent \(x\) = -2\(\sqrt{7}\)\(\)/7 ou \(x\) = 2\(\sqrt{7}\)/7

\(\hspace{2,75cm}\)Soit S = \(\{\)-2\(\sqrt{7}\)/7 ; 2\(\sqrt{7}\)/7\(\}\)

\(\)

\(\hspace{2,25cm}\textcolor{orange}{\scriptsize{♣}}\;\textcolor{blue}{Déterminons\;le\;signe\;de\;12-18\sqrt{3}.}\)

\(\hspace{2,75cm}\)On a : 12² = 144 et \((\)18\(\sqrt{3})^2\) = 972

\(\hspace{2,75cm}\)Il vient alors 12² < \((\)18\(\sqrt{3})^2\) ⟺ 12 < 18\(\sqrt{3}\)

\(\hspace{2,75cm}\)Soit 12 - 18\(\sqrt{3}\) < 0

\(\hspace{2,25cm}\textcolor{red}{\scriptsize{♣}}\;\textcolor{blue}{Déduisons-en\;que\;le\;réel\;3-\sqrt{3}\;est\;une\;solution\;de\;cette\;inéquation.}\)

\(\hspace{2,75cm}\)Soit l'inéquation \(2(x-3)(2x+3) ≤ 0\). Posons \(x\) = 3-\(\sqrt{3}\)

\(\hspace{2,75cm}\)Montrons alors que 2\((\)3-\(\sqrt{3}\)-3\()(\)2\((\)3-\(\sqrt{3})\)+3\()\)≤0

\(\hspace{2,75cm}\)2\((\)3-\(\sqrt{3}\)-3\()(\)2\((\)3-\(\sqrt{3})\)+3\()\) = -2\(\sqrt{3}(\)6-2\(\sqrt{3}\)+3\()\) = -2\(\sqrt{3}(\)9-2\(\sqrt{3})\)

\(\hspace{15,2cm}\)= 12-18\(\sqrt{3}\)≤0

\(\hspace{2,75cm}\)Donc 3-\(\sqrt{3}\) est solution de l'inéquation \(2(x-3)(2x+3) ≤ 0\)

\(\hspace{2,25cm}\textcolor{blue}{\scriptsize{♣}}\;\textcolor{blue}{Résolvons\;dans\;IR\;l'inéquation\;2(x\;-\;3)(2x\;+\;3)\;≤\;0.}\)

\(\hspace{2,75cm}\)Posons 2\((\)x−3\()(\)2x+3\()\) = 0

\(\hspace{2,75cm}\)Il vient 2\((\)x−3\()\) = 0 ou 2x+3 = 0

\(\hspace{2,75cm}\)Soit \(x\) = 3 ou \(x\) = -3/2

\(x\)	-∞\(\hspace{0,75cm}\)-3/2\(\hspace{1,45cm}\)3\(\hspace{0,8cm}\)+∞
2(x-3)	-	-	+
(2x+3)	-	+	+
2(x-3)(2x+3)	+	-	+

\(\hspace{2,75cm}\)S = \([\)-3/2 ; 3\(]\)

\(\hspace{2,25cm}\textcolor{Cyan}{\scriptsize{♣}}\;\textcolor{blue}{Montrons\;que\;4\sqrt{3}\;-\;2\sqrt{75}\;+\;4\sqrt{12}\;-\;\sqrt{27}\;+\;\sqrt{9}\;=\;3\;-\;\sqrt{3}.}\)

\(\hspace{2,75cm}\textcolor{blue}{4\sqrt{3}-2\sqrt{75}+4\sqrt{12}-\sqrt{27}+\sqrt{9}}\;\)= 4\(\sqrt{3}\)-10\(\sqrt{3}\)+8\(\sqrt{3}\)-3\(\sqrt{3}\)+3

\(\hspace{2,75cm}\textcolor{blue}{4\sqrt{3}-2\sqrt{75}+4\sqrt{12}-\sqrt{27}+\sqrt{9}}\;\)= 3-\(\sqrt{3}\).

\(\hspace{2,25cm}\textcolor{magenta}{\scriptsize{♣}}\;\textcolor{blue}{Encadrement\;de\;3-\sqrt{3}\;:}\)

\(\hspace{2,75cm}\)On a 1,732 < \(\sqrt{3}\) < 1,733

\(\hspace{2,75cm}\)Il vient -1,733 < \(-\sqrt{3}\) < -1,732

\(\hspace{2,75cm}\)⟺ 3-1,733 < 3-\(\sqrt{3}\) < 3-1,732

\(\hspace{2,75cm}\)Par suite 1,267 < 3-\(\sqrt{3}\) < 1,268

\(\hspace{2,75cm}\)Soit 1,26 < 3-\(\sqrt{3}\) < 1,27

\(\hspace{0,98cm}\small{\textcolor{red}{\textbf{3.1°/}\; \textbf{Le père veut acheter 10 volailles avec une somme de 32000F.}}}\)

\(\hspace{2,25cm}\textcolor{blue}{\large{♥}}\;\textcolor{blue}{Système\;d'équations}\)

\(\hspace{2,75cm}\)❶ ⟺ x = 10-y ❸

\(\hspace{2,75cm}\)❸ dans ❷ ⟺ 2000\((\)10-y\()\) + 5000y = 32000

\(\hspace{2,75cm}\)Il vient y = 4

\(\hspace{2,75cm}\)❸ devient x = 10-4 = 6

\(\hspace{2,75cm}\)Soit \(x\) = 6 et \(y\) = 4

\(\hspace{0,98cm}\small{\textcolor{red}{\textbf{3.2°/}\; \textbf{Voyant que le nombre d'invités peut augmenter, le père décide d'acheter plus de 12 volailles mais ne compte pas dépenser plus de 36000F}}}\)

\(\hspace{2,25cm}\textcolor{Cyan}{\large{♥}}\;\textcolor{blue}{Construction\;graphique}\)

\(\hspace{2,75cm}\)Soit les droites \((\)D₁\()\) et \((\)D₂\()\) d'équations respectives :

\(\hspace{2,75cm}\)\((\)D₁\()\) : x + y - 12 = 0

\(\hspace{2,75cm}\)\((\)D₂\()\) : 2000x + 5000y - 36000 = 0

\(\hspace{2,35cm}\textcolor{red}{\large{♥}}\;\textcolor{blue}{Déterminons\;les\;nombres\;possibles\;de\;pintades \;s'il\;achète\;13\;pigeons}\)

\(\hspace{2,75cm}\)Si \(x\) = 13 alors \(y\) = 1 ou \(y\) = 2

\(\hspace{2,75cm}\)Donc il peut avoir 1 ou 2 pintade(s) s'il décide d'acheter 13 pigeons.

\(\hspace{2,35cm}\textcolor{orange}{\large{♥}}\;\textcolor{blue}{Déterminons\;toutes\;les\;possibilités\;d'achat\;de\;ces\;volailles}\)

\(\hspace{2,75cm}\)Les possibilités d'achat de ces volailles correspondent aux couples :

\(\hspace{2,75cm}\)\((\)10 ; 3\()\), \((\)11 ; 2\()\), \((\)12 ; 1\()\), \((\)12 ; 2\()\), \((\)13 ; 1\()\), \((\)13 ; 2\()\), \((\)14 ; 1\()\), \((\)15 ; 1\()\)

\(\hspace{2,25cm}\textcolor{black}{\large{❀}}\;\textcolor{blue}{Justifions\;que\;A_{ABCD}=16dm².}\)

\(\hspace{2,75cm}A_{ABCD}\) = AB²

\(\hspace{2,75cm}V_1\) = AB²×SO/3 ⟺ AB² = 3×V\(_1\)/SO

\(\hspace{2,75cm}\)Il vient \(A_{ABCD}\) = AB² = \((\)3×32\()\)/6

\(\hspace{2,75cm}\)Soit \(A_{ABCD}\) = 16dm²

\(\hspace{2,25cm}\textcolor{blue}{\large{❀}}\;\textcolor{blue}{Montre\;que\;le\;coefficient\;de\;réduction\;k=\Large{\frac{3}{4}}}\)

\(\hspace{2,75cm}\)Les points S, K et A sont alignés dans cet ordre d'une part.

\(\hspace{2,75cm}\)De même, les points S, L et B sont alignés dans cet ordre d'autre part et les droites \((\)KL\()\) et \((\)AB\()\) sont telles

\(\hspace{2,75cm}\)que \((\)KL\()\)⫽\((\)AB\()\)

\(\hspace{2,75cm}\)Par conséquent d'après le théorème de Thalès : \(k\) = SK/SA = SL/SB = KL/AB

\(\hspace{2,75cm}\)Il vient \(k\) = KL/AB

\(\hspace{2,75cm}\)Or ABCD est un carré d'aire 16dm², donc son côté AB = 4dm et KLMN est aussi un carré de côté KL = 3dm

\(\hspace{2,75cm}\)Par suite \(k\) = 3/4

\(\hspace{2,25cm}\textcolor{magenta}{\large{❀}}\;\textcolor{blue}{Calculons\;le\;volume\;V_2\;de\;la\;pyramide\;SKLMN}\)

\(\hspace{2,75cm}\)La pyramide SKLMN est la réduction de la pyramide SABCD à l'échelle \(k\) = 3/4

\(\hspace{2,75cm}\)On a V₂/V₁ = k\(^3\) ⟺ V₂ = k\(^3\)×V₁

\(\hspace{2,75cm}\)Il vient V₂ = \((\)3/4\()^3\)×32 = \((\)27/64\()\)×32

\(\hspace{2,75cm}\)Soit V₂ = 13,5dm³

\(\hspace{2,25cm}\textcolor{red}{\large{❀}}\;\textcolor{blue}{Calculons\;le\;volume\;V_2\;de\;la\;pyramide\;SKLMN}\)

\(\hspace{2,75cm}\)Soit V₃, le volume d'une borne.

\(\hspace{2,75cm}\)On a V₃ = V₁-V₂

\(\hspace{2,75cm}\)Il vient V₃ = 32-13,5 = 18,5dm³

\(\hspace{2,75cm}\)Soit V₄, le volume pour fabriquer ces bornes : V₄ = 1,85m³ = 1850dm³

\(\hspace{2,75cm}\)Soit n, le nombre de bornes que l'entrepreneur peut fabriquer est : n = V₄/V₃ = 1850/18,5 = 100bornes

\(\hspace{2,75cm}\)L'entrepreneur peut fabriquer 100bornes avec cette quantité de 1,85m³.

Vous allez à présent effectuer une série d'exercices d'auto-évaluation.

Une synthèse vous sera présentée à la fin de cette série d'exercices.

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