COMPETENCE EXIGIBLE⚓
Calculer la distance d'un point à un plan dont on connaît une équation.
MATERIEL⚓
Matériel de géométrie
Ordinateur ou smartphone
PREREQUIS⚓
Distance de deux points
Projection orthogonale
Equation cartésienne d'un plan
Surfaces de niveau
Positions relatives d'un plan et d'une sphère
ACTIVITE⚓
Enoncé
Question⚓
L’espace est muni d’un repère orthonormal \((O,\vec i, \vec j,\vec k)\) . On désigne par \(P\) le plan d’équation \(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0\) et \(M_0\)
le point de coordonnées \((x_0 ,y_0 ,z_0 )\). On note \(H\) le projeté orthogonal de \(M_0\) sur le plan \(P\).
Soit \(\vec n\) le vecteur de coordonnées \((a ,b, c )\).
Justifier que \(\lvert \vec{n} \cdot \vec{M_0H} \rvert = {M_0H} \times \sqrt {a^2+b^2+c^2}\).
Démontrer que : \(\vec{n} \cdot \vec{M_0H}=-ax_0-by_0-cz_0-d\).
En déduire que : \(d(M_0 , P)=\frac {\lvert ax_0+by_0+cz_0+d \rvert}{\sqrt {a^2+b^2+c^2}}\).
Solution⚓
Le vecteur \(\vec n\) de coordonnées \((a ,b, c )\) est normal au plan \(P\) , \(H\) étant le projeté orthogonal de \(M_0\)sur le plan \(P\) on a alors \((M_0H)\) qui est perpendiculaire à \(P\).
\(\vec n\) et \(\vec{M_0H}\) sont donc colinéaires, par conséquent :\(\lvert \vec{n} \cdot \vec{M_0H} \rvert = \lVert \vec{n} \rVert \times \lVert\vec {M_0H}\rVert = {M_0H} \times \sqrt {a^2+b^2+c^2}\).
Les vecteurs \(\vec n\) et \(\vec{M_0H}\) ont respectivement pour coordonnées \((a ,b, c )\) et \(((x_H-x_0) ,(y_H-y_0), (z_H-z_0))\),
\(\vec{n} \cdot \vec{M_0H}=a(x_H-x_0)+b(y_H-y_0)+c(z_H-z_0)\).
\(H\) appartient au plan \(P\), ses coordonnées vérifient l'équation du plan, à savoir :
\(𝑎𝑥_H + 𝑏𝑦_H + 𝑐𝑧_H + 𝑑 = 0\) autrement \(𝑎𝑥_H +𝑏𝑦_H +𝑐𝑧_H =-d\).
\(\vec{n} \cdot \vec{M_0H}=𝑎𝑥_H + 𝑏𝑦_H + 𝑐𝑧_H -𝑎𝑥_0 -𝑏𝑦_0 -𝑐𝑧_0=-𝑎𝑥_0 -𝑏𝑦_0 -𝑐𝑧_0-d \).
\(d(M_0 , P)=M_0H\) et \(M_0H=\frac {\lvert \vec{n} \cdot \vec{M_0H} \rvert }{\sqrt {a^2+b^2+c^2}}=\frac {\lvert -𝑎𝑥_0 -𝑏𝑦_0 -𝑐𝑧_0-d\rvert }{\sqrt {a^2+b^2+c^2}}\)
d'où \(d(M_0 , P)=\frac {\lvert 𝑎𝑥_0 +𝑏𝑦_0 +𝑐𝑧_0+d\rvert }{\sqrt {a^2+b^2+c^2}}\)
THEOREME⚓
Théorème :
L’espace est muni d’un repère orthonormal \((O,\vec i, \vec j,\vec k)\) . On désigne par \(P\) le plan d’équation \(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0\) et \(A\) le point de coordonnées \((x_0 ,y_0 ,z_0 )\).
La distance du point \(A\) au plan \(P\) notée \(d(A , P)\) est donnée par :
\(d(A , P)=\frac {\lvert ax_0+by_0+cz_0+d \rvert}{\sqrt {a^2+b^2+c^2}}\).
APPLICATIONS⚓
Application 1⚓
Question⚓
L’espace est muni d’un repère orthonormal \((O,\vec i, \vec j,\vec k)\) .
Soit \(P\) le plan d’équation \(𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 -1= 0\) et \(A \)le point de coordonnées \((0 ,2 ,3 )\).
Calculer la distance du point \(A\) au plan \(P\).
Application 2⚓
Question⚓
L’espace est muni d’un repère orthonormal \((O,\vec i, \vec j,\vec k)\) .
Soit \(P\) le plan d’équation \(3𝑥 -2𝑦 + 4𝑧 -3= 0\) et \(B\) le point de coordonnées \((1 ,2 ,1 )\).
Calculer la distance du point \(B\) au plan \(P\).
EXERCICES⚓
Exercice 1⚓
Question⚓
Dans l’espace muni d'un repère orthonormé \((O,\vec i, \vec j,\vec k)\) , on considère les points \(A(1 ,2, 3) , B(0, 1, 4) \) , \(C(-1, -3, 2)\) , \(D(4, -2, 5)\) et le vecteur \(\vec n (2 ,-1 , 1)\).
Démontrer que les points \(A, B, C\) ne sont pas alignés.
Montrer que le vecteur \(\vec n\) est un vecteur normal au plan \((ABC)\).
En déduire une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
Calculer la distance du point \(D\) au plan \((ABC)\).
Déterminer le volume du tétraédre \(ABCD\).
Solution⚓
L’espace muni d'un repère orthonormé \((O,\vec i, \vec j,\vec k)\) , on considère les points \(A(1 ,2, 3) , B(0, 1, 4) \) , \(C(-1, -3, 2)\) , \(D(4, -2, 5)\)et le vecteur \(\vec n (2 ,-1 , 1)\).
1. Démontrons que les points \(A, B, C\) ne sont pas alignés.
\(\vec {AB} (-1, -1, 1)\) et \(\vec {AC} (-2, -5, -1)\) alors \(\vec {AB} \wedge \vec {AC}=6\vec i-3 \vec j+3\vec k\). Comme \(Le volume du tétraèdre \neq \vec 0\) alors les points \(A, B, C\) ne sont pas alignés.
2. \(\vec {AB} \wedge \vec {AC}\) est un vecteur normal au plan \((ABC)\) et \(\vec {AB} \wedge \vec {AC}=3\vec n\) donc \(\vec {AB} \wedge \vec {AC}\) et \(\vec n \)sont colinéaires, par conséquent \(\vec n\) est aussi un vecteur normal au plan \((ABC)\).
3. Une équation cartésienne du plan \((ABC)\) est alors de la forme : \(2𝑥 -𝑦 + 𝑧 +d= 0\). Trouvons \(d\) en utilisant l'appartenance de \(A\) au plan \((ABC)\), qui se traduit par la relation : \(2(1) -2 + 3+d= 0\). On a donc \(d=-3\).
Une équation cartésienne du plan \((ABC)\) est alors : \(2𝑥 -𝑦 + 𝑧 -3= 0\).
4. Calculons la distance du point \(D\) au plan \((ABC)\).
La distance du point \(D\) au plan \((ABC)\) est :
\(d(D ,(ABC) )=\frac {\lvert 2(4)-(-2)+5-3 \rvert}{\sqrt {2^2+(-1)^2+1^2}}=\frac {\lvert {12}\rvert}{\sqrt 6}=2 \sqrt 6\).
5. Déterminons le volume du tétraèdre \(ABCD\).
Le volume du tétraèdre \(ABCD\) est égal au tiers de l'aire de base multipliée par la hauteur.
Si on considère que la base est le triangle \(ABC\) alors la hauteur est \(d(D ,(ABC))\).
Notons \(V\) le volume du tétraèdre \(ABCD\). On a alors \(V=\frac 13 \times \frac 12 \times \lVert \vec {AB} \wedge \vec {AC}\rVert \times d(D ,(ABC))\).
\(V=\frac 16 \times \sqrt {6^2+(-3)^2+3^2} \times{ 2 \sqrt 6}=6\).
Exercice 2⚓
Question⚓
Dans l’espace muni d'un repère orthonormé \((O,\vec i, \vec j,\vec k)\) , on considère les points \(A(6, 0, 0) , B(0, 6, 0) \), \(C(0, 0, 6)\).
1. Déterminer les coordonnées du barycentre \(G\) du système \(\{(O, 1) ,(A, 2) , (B, 3)\}\).
2. Montrer que l’ensemble \((S)\) des points \(M\) de l’espace tels que : \((\vec{MO}+2\vec{MA} +3\vec{MB})\cdot \vec{MC}=0\) est une sphère dont on déterminera le centre \(I\) et le rayon \(r\).
Soit \(P\) le plan d’équation : \(3x+4y+\frac{17}2=0\).
3. Déterminer la distance du point \(I\) au plan \(P\).
4. Que peut-on en déduire pour \((S)\) et \(P\) ?
Solution⚓
Dans l’espace muni d'un repère orthonormé \((O,\vec i, \vec j,\vec k)\) , on considère les points \(A(6, 0, 0) , B(0, 6, 0) \), \(C(0, 0, 6)\).
1. Déterminons les coordonnées du barycentre \(G\) du système \(\{(O, 1) ,(A, 2) , (B, 3)\}\).
\(x_G=\frac {x_O+2x_A+3x_B}6=\frac {12}6=2\)
\(y_G=\frac {y_O+2y_A+3y_B}6=\frac {18}6=3\)
\(z_G=\frac {z_O+2z_A+3z_B}6=\frac {0}6=0\)
Donc \(G(2, 3, 0)\).
2. Déterminons l’ensemble \((S)\) des points \(M\) de l’espace tels que : \((\vec{MO}+2\vec{MA} +3\vec{MB})\cdot \vec{MC}=0\).
\(G\) barycentre de \(\{(O, 1) ,(A, 2) , (B, 3)\}\), on a alors \(\vec{G0}+2\vec{GA}+3\vec{GB}=\vec{0}\) et pour tout point \(M\) de l'espace \(\vec{MO}+2\vec{MA}+3\vec{MB}=6\vec{MG}\), par suite :\((\vec{MO}+2\vec{MA} +3\vec{MB})\cdot \vec{MC}=0\) équivaut à \(\vec{MG}\cdot \vec{MC}=0\).
L’ensemble \((S)\) des points \(M\) de l’espace est bien la sphère de diamètre \([GC]\), son centre \(I\) est le milieu de \([GC]\), il a pour coordonnées \((1, \frac 32, 3)\) et son rayon \(r=\frac {GC}2=\frac 72\).
3.Déterminons la distance du point \(I\) au plan \(P\).
La distance du point \(I\) au plan \(P\) est :\(d(I , P=\frac {\lvert 3(1)+4(\frac 32)+0(3)+\frac {17}2 \rvert}{\sqrt {3^2+4^2+0^2}}=\frac 72\).
4. Le rayon de \((S)\) est égal à la distance du point \(I\) au plan \(P\) , par conséquent la sphère est tangente au plan.