ELLIPSE

• Déterminer une équation cartésienne d'une ellipse.

• Déterminer la nature et les éléments géométriques caractéristiques d'une ellipse connaissant une équation cartésienne

• Matériel de géométrie

• Ordinateur

• Vidéo projecteur

• Equation paramétrique d'une droite

• Equation cartésienne d'une droite

• Tangente à une courbe

• Distance d'un point à une droite

• Projection orthogonale

Le rôle de la géodésie dans la géomatique

La géodésie est la science qui détermine la forme et les dimensions de la Terre dans l'espace à trois dimensions ainsi que l’étude de son champ gravitationnel.

Bien que peu connue du grand public, la géodésie est à la base de tout ce qui touche au positionnement terrestre. Un système de référence spatiale issu de la géodésie permet de se positionner, puis de positionner différents objets et travaux sur la Terre, dans un référentiel commun. La géodésie est donc la base de toutes les étapes d’un processus de géomatique.

La terre n'est pas une sphère, qui est une forme géométrique dite parfaite, mais un géoïde. Ce terme désigne la forme réelle de la surface terrestre, légèrement aplatie aux pôles et bosselée selon les continents. Son apparence sphérique lorsqu'on l'observe depuis l'espace masque les nombreuses petites irrégularités de sa surface. Pour modéliser cette surface, on utilise une figure géométrique plus régulière, l'ellipsoïde : volume globalement sphérique présentant un aplatissement aux pôles et servant de référence pour la construction des projections cartographiques.

La représentation des écarts de gravimétrie donne une image exagérée des déformations de la sphère terrestre

La Terre fut longtemps considérée comme étant sphérique, tout d'abord par Parménide (v. 515-450 av. J.-C.) essentiellement pour des raisons esthétiques et géométriques, puis par Platon (v. 428-348 av. J.-C.) pour qui la forme des éclipses de Lune montre que l'ombre projetée de la Terre est toujours circulaire. Cette idée de Terre sphérique sera peu à peu remplacée par l'idée que la Terre présente une forme ellipsoïdale.

Soit \(e\) un réel tel que \(0 \lt  e \lt 1\), (𝑫) une droite du plan (P) et 𝑭 un point non situé sur (𝑫). A tout point M de (P),on associe son projeté orthogonal 𝑯 sur (𝑫).

On se propose d'étudier l’ensemble (𝚪) des points 𝑴 du plan P tels que : \(\frac {MF}{MH}=e\). (1)

On désigne par (∆) la perpendiculaire à (D) passant par F et K le point d'intersection de (∆) et de(D). On suppose que (𝚪) n'est pas vide.

Soit m le projeté orthogonal de M sur (∆).

On désigne par A le barycentre de \({(K,e) , (F, 1)}\) et A' le barycentre de\({(K,e) , (F, -1)}\).

Soit m un point quelconque de \([AA']\).

Rappelons que \(0 \lt  e \lt 1\), l’intersection de la conique (Γ) et de son axe focal (∆) est constituée de deux points distincts :

\(A = bar\ {(𝐹, 1); (𝐾, 𝑒)}\) (*) et \(A′= bar\ {(𝐹, 1); (𝐾, -𝑒)} \)(**)

O le milieu de [𝐴𝐴′] et on pose \(𝒂 = 𝑶𝑨\) et \(𝒄 = 𝑶𝑭\).

Position relative des points 𝑶, 𝑨 , 𝑭 et 𝑲

D’après la propriété de réduction du barycentre de 2 points pondérés, les relations (*) et (**) entraînent que l’on a pour tout point M du plan, \(\vec{MF}+ 𝑒 \vec{MK}= (1 + 𝑒) \vec{MA}\) et

\(\vec{MF}- 𝑒 \vec{MK}= (1 - 𝑒) \vec{MA'}\)

En particulier, pour 𝑀 = 𝑂, on a :

\(\vec{OF}+ 𝑒 \vec{OK}= (1 + 𝑒) \vec{OA}\) (1) et \(\vec{OF}- 𝑒 \vec{OK}= (1 - 𝑒) \vec{OA'}\) (2)

(comme O est le milieu de [𝐴𝐴′], on a : \(\vec{OA'}=-\vec{OA}\) .

Par addition et soustraction membre à membre, les relations (1) et (2) entraînent :

\(2\vec{OF} =2𝑒 \vec{OA}\) et \(2e\vec{OK}=2\vec{OA}\)

D’où l’on déduit que : \(\vec{OF}=𝑒 \vec{OA}\) et \(\vec{OK}=\frac1e\vec{OA}\) ⟹ \(𝑂𝐹 = 𝑒𝑂𝐴\), c’est-à-dire

\(𝒄 = 𝒆𝒂\) ou \(𝒆 =\frac{c}a\)

et \(𝑂𝐾 =\frac1eOA\) c’est-à-dire \(𝑶𝑲 = \frac{a}e =\frac{a^2}c\).

Comme 𝑒 ≠ 1 alors 𝑐 ≠ 𝑎.

𝑐 = 𝑒𝑎 et 𝒆 < 1 nous avons 𝑐 < 𝑎, c’est-à-dire OF < OA donc 𝑂𝐾 > 𝑂𝐴.

Les points O, F, A et K sont disposés comme le montre la figure ci-dessous où l’on a pris \(𝑒 =\frac1e\)

On choisit un repère orthonormé\( R =(𝑂, \vec i ,\vec j)\), d’origine 𝑂 et d’axe des abscisses (Ox) tel que A ait pour coordonnées (𝑎, 0). Le point F a alors pour coordonnées (𝑐, 0) et la directrice (𝐷) a pour équation \(𝑥 =\frac{𝑎²}c\).

𝑀(𝑥, 𝑦) ∈ (Γ) ⟺ 𝐹𝑀² = 𝑒²𝑑(𝑀, (𝐷))² ⟺ (𝑥 - 𝑐)² + 𝑦² = \(\frac{c^2}{a^2}(x-\frac{a^2}c)^2\) (puisque \(𝑒 =\frac {c}a\)).

⟺ \(x^2-2cx+c^2+y^2=\frac{c^2}{a^2}x^2-2cx+a^2\)⟺\(\frac{a^2-c^2}{a^2}x^2+y^2=a^2-c^2\)

⟺\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1\) (après division par le réel non nul 𝑎² - 𝑐²).

Ainsi, dans le repère ci-dessus, (Γ) admet pour équation :\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1\)

Notons que le point 𝑂 est centre de symétrie de (Γ). En effet,

𝑀(𝑥, 𝑦) ∈ (Γ) ⟺\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1\) ⟺ \(\frac{(-x)^2}{a^2}+\frac{(-y)^2}{a^2-c^2}=1\)⟺𝑀'(-𝑥, -𝑦) ∈ (Γ) .

Pour cette raison, l’ellipse est appelée conique à centre.

De même, nous savons déjà que l’axe focal de (Γ) (qui est ici l’axe des abscisses) est un axe de symétrie, ce que l’on redécouvre dans l’équivalence (𝑥, 𝑦) ∈ (Γ) ⟺ (𝑥, -𝑦) ∈ (Γ).

Mais l’axe des ordonnées est également axe de symétrie de (Γ) car (𝑥, 𝑦) ∈ (Γ) ⟺ (-𝑥, 𝑦) ∈ (Γ).

Ce deuxième axe de symétrie (∆′) est appelé axe non focal de la conique.

D’autre part, soit 𝐹′ = S(∆′)(𝐹) et (𝐷′) = S(∆′)[(𝐷)]. Soit 𝐻 le projeté orthogonal de 𝑀 ∈ (Γ) sur (𝐷) et

𝐻’ le projeté orthogonal de 𝑀′ = S(∆′)(𝑀) sur (𝐷′).

𝐹′ est un point de l’axe focal (∆) et (𝐷′) est une droite perpendiculaire à (∆) en 𝐾′ = S(∆′)(𝐾).

Comme (Γ) est invariante par S(∆′), on a : 𝑀 ∈ (Γ) ⟺ 𝑀′ ∈ (Γ) ⟺\(\frac {M'F}{M'H}=e\); or \(\frac {M'F}{M'H}=\frac {MF'}{MH'}\), car une réflexion conserve les distances.

Donc 𝑀 ∈ (Γ) ⟺ \(\frac {MF'}{MH'}=e\). Cela signifie que (Γ) est aussi l'ellipse de foyer 𝐹′, de directrice (𝐷′) et d’excentricité 𝑒.

Ainsi toute ellipse admet deux paires de foyers et directrices associés {𝐹, (𝐷)} et {𝐹′, (𝐷′)}.

Puisque 0 < 𝑒 < 1, on a 𝑐 < 𝑎. Par suite 𝑎² - 𝑐² > 0 et on peut poser \(𝑏 = \sqrt{𝑎^2 - 𝑐^2}\) ce qui s’écrit encore \(a^2=b^2+c^2\).

L’équation de (Γ) devient dans le repère défini ci-dessus :

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

ILLUSTRATION

Remarques : Si 𝑀(𝑥, 𝑦) est un point de l’ellipse, on a :\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) par conséquent\(\frac{x^2}{a^2}=1-\frac{y^2}{b^2}=1\) par suite, l’abscisse 𝑥 de 𝑀 vérifie |𝑥| ≤ 𝑎 ou encore – 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎. L’ellipse coupe l’axe des abscisses aux points A(𝑎, 0) et A’ (-𝑎, 0).

De même, on a – 𝑏 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏 et l’ellipse coupe l’axe des ordonnées aux points B (0, 𝑏) et B’(0, -𝑏).

Les points A, A′, B et B′ sont les quatre sommets de l’ellipse. A et A′ sont sur l’axe focal et B et B′ sur

l’axe non focal.

On a : 𝑂𝐵 = 𝑂𝐵′ = b et 𝑂𝐴 = 𝑂𝐴′= a avec 𝑏 < 𝑎. Pour cette raison, le segment [𝐴𝐴′] est appelé

grand axe de l’ellipse et le segment [𝐵𝐵′] petit axe de l’ellipse. Par abus de langage, l’expression grand

axe désigne parfois l’axe focal ou aussi la longueur AA′.