ACTIVITE : ENERGIES GRAVITATIONNELLES
Objectifs⚓
Exprimer l’énergie cinétique d’un satellite.
Exprimer l’énergie potentielle d’un satellite.
Exprimer l’énergie mécanique d’un satellite.
Calculer la vitesse minimale de libération.
Prendre conscience de l'importance des satellites géostationnaires.
Matériel⚓
Vidéo projecteur
Smartphone
Vérification prérequis⚓
Vérification des prérequis
Déroulement⚓
INTRODUCTION⚓
Consigne
Visionnes la vidéo ci-dessous, prends bien note puis définis les termes suivants :
énergie cinétique d'un satellite
énergie potentielle d'un satellite
énergie mécanique d'un satellite
vitesse de libération d'un satellite
Nota Bene :
A l'issue de cette activité, nous reviendrons pour apporter ensemble des réponses à ces questions.
ENERGIE CINETIQUE D'UN SATELLITE⚓
Rappel :
Un satellite artificiel , assimilé à un point matériel, décrit une orbite circulaire de rayon r = OM autour de la Terre de centre O. On suppose que le satellite est soumis uniquement à la force gravitationnelle exercée par la Terre.
Uniformité
La norme v du vecteur vitesse du satellite étant constante, nous pouvons en déduire que son mouvement est uniforme.
Expression de la vitesse :
\(\ v\ =\ \sqrt{\frac{GM}{r}}=\ \sqrt{\frac{G_0R^2}{r}}\)
Expression de la Période
\(\ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G_0R^2}}\)
Troisième loi de Kepler :
\(\ \frac{T^2}{r^3}=\frac{4\pi^2}{GM}\) = constante.
Nota Bene :
\({G_0}\) : intensité du champ de pesanteur terrestre
G : constante gravitationnelle
M : masse de la Terre
m : masse du satellite
r : rayon de l'orbite du satellite autour de la Terre ; r = R + h
R : rayon de la Terre
h : altitude du satellite
Définition :
L’énergie cinétique est l’énergie d’un objet en raison de son mouvement.
L'énergie cinétique Ec d'un satellite de masse m, en orbite circulaire de rayon r et de vitesse constante v, a pour expression :\(Ec=\frac{1}{2}mv^2;Ec=\frac{GMm}{2r}=\frac{mG_0R^2}{2r}\)
ENERGIE POTENTIELLE GRAVITATIONNELLE⚓
Rappel :
L’énergie potentielle est l’énergie emmagasinée par un objet en raison de sa position ou de sa forme.
Définition :
L’énergie potentielle gravitationnelle est l’énergie emmagasinée par un objet selon sa position par rapport au sol.
Lorsque le niveau de référence est choisi à l'infini, l'énergie potentielle d'un satellite de la Terre dans le champ de gravitation à l’altitude h est donnée par la relation : \(Ep=-\frac{GMm}{r}=-\frac{mG_0R^2}{r}\)
Attention :
L’énergie potentielle gravitationnelle est négative.
Le signe négatif dans la définition de l’énergie potentielle gravitationnelle est très important, car cela signifie qu’il y a une attraction entre les deux masses M et m.
L’énergie potentielle gravitationnelle ne dépend pas d’un système d’axe, mais uniquement de la distance r qui séparent les deux masses.
Lorsque la distance entre les deux masses est très petite, l’énergie est très négative.
Lorsque la distance entre les deux masses est très grande, l’énergie tend vers zéro.
Nota Bene :
Si le niveau de référence est choisi à la surface de la Terre, l'énergie potentielle du satellite est donnée par la relation :\(Ep=GMm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right)=mG_0R^2\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right)\)
Complément :
Différence entre les deux équations de l’énergie potentielle gravitationnelle
Voici les deux expressions associées à l’énergie potentielle gravitationnelle Ep:
Ep = mgh (Valide si le champ gravitationnel est constant)
\(Ep=-\frac{GMm}{r}\) (Valide pour des masses sphériques ou ponctuelles)
Question⚓
Chute d'une brique en deux méthodes : variation de son énergie potentielle gravitationnelle.
On désire évaluer la variation de l’énergie potentielle gravitationnelle d’une brique de 0,4 kg qui tombe d’une hauteur de 2 m au sol à l’aide des deux expressions pour l’énergie potentielle gravitationnelle. L’expérience se fait sur la Terre.
Données : \(g=9,8m.s^{-2};M=5,98.10^{24}kg;R=6380km\)
Solution⚓
Méthode 1 : Champ gravitationnel constant (Ep = mgh)
\(\Delta Ep=mg\left(h_f-h_i\right)=0,4\times9,8\left(0-2\right)=-7,84J\)
Méthode 2: Champ gravitationnel pour des masses sphériques ou ponctuelles (\(Ep=-\frac{GMm}{r}\))
\(\Delta Ep=GmM\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f}\right)=6,67.10^{-11}\times0,4\times5,98.10^{24}\left(\left(\frac{1}{6380002}-\frac{1}{6380000}\right)=-7,84J\right)\)
Conclusion : Lorsqu’il y a un petit déplacement dans un champ gravitationnel relativement constant, l’expression Ep = mgh est assez précise et donc valide.
ENERGIE MECANIQUE GRAVITATIONNELLE ET TYPE DE TRAJECTOIRE⚓
Définition :
L’énergie totale E d’un système est égale à l’addition de l’énergie cinétique totale Ec avec l’énergie potentielle totale Ep.
Si le niveau de référence est choisi à l'infini :
\(E=Ec+Ep;E=\frac{GMm}{2r}-\frac{GMm}{r};E=-\frac{GMm}{2r};E=-\frac{mG_0R^2}{2r}\).
Nota Bene :
Dans un système à deux corps massifs, si le niveau de référence est choisie l’énergie potentielle gravitationnelle des deux masses M et m est négative. Il y a donc trois scénarios possibles pour le bilan de l’énergie qui produisent des trajectoires différentes :
Bilan de l’énergie | Comparaison de Ec et Ep | Type de trajectoire | Exemple |
|---|---|---|---|
E < 0 | \(Ec<\left|Ep\right|\) | Fermée | Système Terre-Lune |
E = 0 | Ec=\(\left|Ep\right|\) | Ouverte à l’infini | Vitesse de libération |
E > 0 | \(Ec>\left|Ep\right|\) | Ouverte | Comète qui ne repassera pas près de la Terre |
Exemple :
Exemple 1: Système où E < 0 avec Wnc (M est immobile et m est en mouvement)
Pour quitter la liaison, la masse m doit acquérir une énergie externe afin que le système puisse satisfaire E ≥ 0 . Un moteur pourrait jouer ce rôle permettant au système d’augmenter son énergie totale via un travail non-conservatif Wnc . C’est grâce à cette technique que l’on peut envoyer des satellites dans l’espace.
Exemple 2: système où E > 0 (M est immobile et m est en mouvement)
La masse m possède une vitesse non nulle à une très grande distance de la masse M et elle sera déviée lorsqu’elle passera près de la masse M attractive. L’objet n’est pas en orbite.
VITESSE DE LIBERATION⚓
Définition :
La vitesse de libération v correspond à la vitesse initiale minimale que doit avoir un objet situé à une distance r d’un corps très massif de masse M (comme la Terre ou le Soleil) afin de pouvoir s’en éloigner jusqu’à une distance infinie \(\left(v_{\infty }=0\right)\) : \(\left(v_{lib}=\sqrt[]{\frac{2GM}{r}}\right)\)
Nota Bene :
Sur Terre, cette vitesse est égale à 11,2 km/s. A cette vitesse, le frottement de l’air est très important. C’est pour cette raison qu’on ne peut pas uniquement lancer de la Terre un objet ayant comme destination l’espace. Il faut le propulser graduellement (voir image ci-contre).
Exemple :
Libération du Soleil depuis la Terre : ≈ 42,1 km/s
Libération de la Lune depuis la Lune : ≈ 2,4 km/s
Libération de la voie lactée depuis notre système solaire : ≈ 1000 km/s