EQUATIONS IRRATIONNELLES
COMPETENCES EXIGIBLES⚓
Savoir appliquer les propriétés des radicaux et des fonctions
Résoudre une équation irrationnelle de la forme \(\sqrt{𝒇(𝒙)}= 𝒈(𝒙)\) , \(f\) et \(g\) des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à 2.
Résoudre une inéquation irrationnelle de la forme \(\sqrt{𝒇(𝒙)} ≥ 𝒈(𝒙)\) , \(\sqrt{𝒇(𝒙)} \leq 𝒈(𝒙)\) , \(f\) et \(g\) étant deux polynômes de degrés inférieurs ou égaux à 2.
MATERIEL⚓
Cahiers, calculatrice, stylos, crayon, gomme, matériel géométrique
Ordinateur
Vidéo projecteur
RAPPEL DES PREREQUIS⚓
Connaissance des propriétés des radicaux.
Résolution d’équations et d’inéquations du premier degré.
Résolution d’équations et d’inéquations du second degré.
INTRODUCTION⚓
Les équations et inéquations irrationnelles peuvent être très utiles en géomatique, un domaine qui combine la géographie et l’informatique pour la collecte, l’analyse et l’interprétation des données spatiales. Parmi les points de connexion entre ces concepts mathématiques et la géomatique, on peut citer :
1. Modélisation des Données Spatiales
Interpolation et Extrapolation : Les équations irrationnelles peuvent être utilisées pour modéliser des surfaces et des courbes complexes dans les systèmes d’information géographique (SIG). Par exemple, la modélisation de terrains ou de surfaces d’eau peut nécessiter des fonctions irrationnelles pour représenter des variations non linéaires.
Analyse des Surfaces : Les inéquations irrationnelles peuvent aider à définir des zones spécifiques sur une carte, comme les régions où une certaine condition est remplie (par exemple, les altitudes supérieures à une certaine valeur).
2. Traitement des Images et des Données
Correction des Distorsions : Les équations irrationnelles peuvent être utilisées pour corriger les distorsions dans les images satellitaires ou aériennes. Cela est crucial pour obtenir des données précises et utilisables.
Transformation des Coordonnées : Les transformations géométriques, telles que les projections cartographiques, peuvent impliquer des équations irrationnelles pour convertir des coordonnées entre différents systèmes de référence.
3. Applications Pratiques
Gestion des Ressources Naturelles : En géomatique, les équations irrationnelles peuvent être utilisées pour modéliser la distribution des ressources naturelles, comme l’eau ou les minéraux, en fonction de diverses variables environnementales.
Urbanisme et Planification : Les inéquations irrationnelles peuvent aider à définir les zones de construction en fonction de contraintes géographiques et environnementales, comme les pentes de terrain ou les zones inondables.
4. Visualisation et Analyse
Cartographie Thématique : Les équations irrationnelles peuvent être utilisées pour créer des cartes thématiques qui montrent des variations continues de données, comme les températures ou les précipitations.
Analyse de Réseaux : Dans l’analyse des réseaux de transport ou de communication, les inéquations irrationnelles peuvent aider à optimiser les routes et les connexions en fonction de diverses contraintes.
5. Intégration Pédagogique
Projets Interdisciplinaires : Vous pouvez intégrer des projets qui combinent les mathématiques et la géomatique pour résoudre des problèmes réels. Par exemple, les élèves peuvent utiliser des SIG pour analyser des données environnementales et appliquer des équations irrationnelles pour modéliser des phénomènes naturels.
Utilisation de Logiciels : Enseigner aux élèves à utiliser des logiciels de géomatique comme ArcGIS ou QGIS peut les aider à voir l’application pratique des équations et inéquations irrationnelles dans la gestion des données spatiales.
Ces points montrent comment les concepts mathématiques peuvent être appliqués de manière pratique et concrète dans le domaine de la géomatique, enrichissant ainsi l’expérience d’apprentissage des élèves.
A- EQUATIONS IRRATIONNELLES⚓
I.-Equations irrationnelles
Dans cette partie, nous allons voir les équations irrationnelles du type : \(\sqrt {A(x)}=\sqrt {B(x)}\) et \(\sqrt {A(x)}=B(x)\) où \(A(x)\) et \(B(x)\) sont deux polynômes de degré inférieur ou égal à \(2\).
I.1- Equations irrationnelles du type :
\(\sqrt {A(x)}=\sqrt {B(x)}\)
Activité
Question⚓
Soient \(a\) et \(b\) deux réels et considérons l’égalité \(\sqrt {a}=\sqrt {b}\).
Quelles conditions doivent vérifier \(a\) et \(b\) pour que l’égalité ait un sens ?
Ecrire cette égalité sans le symbole de la racine carrée.
Solution⚓
Pour que l'égalité ait un sens, il faut \(a\geq 0\) et \(b\geq 0\)
En élevant au carré les deux membres de l'égalité, on trouve \(a=b\).
Donc \(\sqrt {a}=\sqrt {b}\) \(⟺\) \(\begin{cases} a\geq 0\\ b\geq 0 \\a=b\end{cases}\).
Remarque :
Dans le système ci-dessus l'une des inégalités \(a\geq 0\) et \(b\geq 0\) est de trop du fait que \(a=b\). L'un positif entraine forcément l'autre positif.
Pour résoudre une équation irrationnelle du type : \(\sqrt {A(x)}=\sqrt {B(x)}\) , on utilise la propriété suivante.
Propriété
Soient \(A(x)\) et \(B(x)\) deux polynômes de degrés inférieurs ou égaux à deux.
On a : \(\sqrt {A(x)}=\sqrt {B(x)}\) \(⟺\) \(\begin{cases}A(x) \geq 0\\ A(x)=B(x)\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}B(x) \geq 0\\ A(x)=B(x)\end{cases}\)
Remarque
Le choix du système équivalent se fera en fonction de l’inéquation la plus simple entre \(A(x)≥0\) et \(B(x)≥0\)
Démonstration
Sens direct :
On suppose que \(\sqrt {A(x)}=\sqrt {B(x)}\)
On a alors \((\sqrt {A(x)})^2=(\sqrt {B(x)})^2\) soit \(A(x)=B(x)\).
De plus \(A(x)≥0\) signifie aussi \(B(x)≥0\).
Sens réciproque :
On suppose que \(A(x)=B(x)\) et \(A(x)≥0\). On a alors \(B(x)≥0\).
De plus, on peut écrire \(\sqrt {A(x)}=\sqrt {B(x)}\).
Exemple
Question⚓
Résoudre dans \(IR\) l’équation irrationnelle \(\sqrt {x^2-1}=\sqrt x\)
Solution⚓
On a : \(\sqrt {x^2-1}=\sqrt x\) \(⟺\)\(\begin{cases} x\geq 0\\ x^2-1=x\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} x\geq 0\\ x^2-x-1=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} x\geq 0\\ (x=\frac{1-\sqrt 5}{2} \hspace{.5cm}\text{ou} \hspace{.5cm}x=\frac{1+\sqrt 5}{2})\end{cases}\)
D’où \(x=\frac{1+\sqrt 5}{2}\)
L’ensemble des solutions de l’équation est \(S=\{\frac{1+\sqrt 5}{2}\}\)
Application
Question⚓
Résoudre dans \(R\) les équations irrationnelles suivantes :
\(\sqrt {4x-1}=\sqrt {3-x}\)
\(\sqrt {4x+1}=\sqrt {x^2+2x}\)
Solution⚓
Résolvons dans \(R\) les équations irrationnelles suivantes :
\(\sqrt {4x-1}=\sqrt {3-x}\)
\(\sqrt {4x-1}=\sqrt {3-x}\) \(⟺\) \(\begin{cases} 4x-1\geq 0\\ 4x-1=3-x\end{cases}\) \(⟺\) \(\begin{cases} 4x\geq 1\\ 5x=4\end{cases}\)\(⟺\) \(\begin{cases} x\geq \frac14\\ x=\frac45\end{cases}\). Et puis que \(\frac45 \geq \frac14\), on alors \(S=\{\frac{4}{5}\}\)
\(\sqrt {4x+1}=\sqrt {x^2+2x}\) \(⟺\) \(\begin{cases} 4x+1\geq 0\\ 4x+1=x^2+2x\end{cases}\) \(⟺\) \(\begin{cases} 4x\geq -1\\ x^2-2x-1=0\end{cases}\)\(⟺\) \(\begin{cases} x\geq \frac{-1}{4}\\ x^2-2x-1=0\end{cases}\).
Calculons le discriminant réduit du second degré. On obtient \(\Delta '=b'^2-ac=1+1=2\). L'équation du second degré admet alors deux solutions distinctes \(x_1=1-\sqrt2\) et \(x_2=1+\sqrt2\). De plus \(x_1<\frac{-1}{4}\) et \(x_2\geq \frac{-1}{4}\)
D'où \(S=\{x_2=1+\sqrt2\}\)
I.2- Equations irrationnelles du type :
\(\sqrt {A(x)}=B(x)\)
Activité
Question⚓
Soient \(a\) et \(b\) deux réels et considérons l’égalité \(\sqrt {a}=b\).
Quelles conditions doivent vérifier \(a\) et \(b\) pour que l’égalité ait un sens ?
Ecrire cette égalité sans le symbole de la racine carrée.
Solution⚓
Pour que l'égalité ait un sens, il faut \(a\geq 0\) et \(b\geq 0\)
Il faut \(b\geq 0\) sinon l'égalité est impossible.
Donc \(\sqrt {a}=b\)\(⟺\) \(\begin{cases} a\geq 0\\ b\geq 0 \\a=b^2\end{cases}\).
Remarque :
Dans le système ci-dessus l'inégalité \(a\geq 0\) est une rédondance et est inutile car \(a=b^2\) signifie \(a\geq 0\).
Pour résoudre une équation irrationnelle du type : \(\sqrt {A(x)}=B(x)\) , on utilise la propriété suivante.
Propriété
Soient \(A(x)\) et \(B(x)\) deux polynômes de degrés inférieurs ou égaux à deux.
On a : \(\sqrt {A(x)}=B(x)\) \(⟺\) \(\begin{cases}B(x) \geq 0\\ A(x)=(B(x))^2\end{cases}\)
Démonstration
Sens direct :
Supposons que \(\sqrt {A(x)}=B(x)\)
On peut alors en déduire deux informations : \((\sqrt {A(x)})^2=(B(x))^2\) soit \(A(x)=(B(x))^2\) et \(B(x)≥0\).
Sens réciproque :
Supposons que \(A(x)=(B(x))^2\) et \(B(x)≥0\).
\(A(x)=(B(x))^2\) donc \(\sqrt {A(x)}=\sqrt {(B(x))^2}\) soit \(\sqrt {A(x)}=\|B(x)\|\) or \(B(x)≥0\) par conséquent \(\sqrt {A(x)}=B(x)\).
Remarque :
L’égalité \(A(x)=(B(x))^2\) entraine ipso facto que \(A(x)≥0\).
Exemple
Question⚓
Résoudre dans \(IR\) l’équation irrationnelle \(\sqrt {x^2-9}=x-1\)
Solution⚓
On a : \(\sqrt {x^2-9}= x-1\) \(⟺\)\(\begin{cases} x-1\geq 0\\ x^2-9=(x-1)^2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} x\geq 1\\ x^2-9=x^2-2x+1\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} x\geq 1\\ 2x=10\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} x\geq 1\\ x=5\end{cases}\)
D’où \(x=5\)
L’ensemble des solutions de l’équation est \(S=\{5\}\)
Application
Question⚓
Résoudre dans \(R\) les équations irrationnelles suivantes :
\(\sqrt {4x-1}=\frac12+x\)
\(\sqrt {x^2+x-2}=-5x+1\)
Solution⚓
Résolvons dans \(R\) les équations irrationnelles suivantes :
\(\sqrt {4x-1}=\frac12+x\)
\(\sqrt {4x-1}=\frac12+x\) \(⟺\) \(\begin{cases} \frac12+x\geq 0\\ 4x-1=(\frac12+x)^2\end{cases}\) \(⟺\) \(\begin{cases} x\geq -\frac12\\ 4x-1=\frac14+x+x^2\end{cases}\)\(⟺\) \(\begin{cases} x\geq -\frac12\\ x^2-3x+\frac54=0\end{cases}\) \(⟺\) \(\begin{cases} x\geq -\frac12\\ 4x^2-12x+5=0\end{cases}\).
Calculons le discriminant réduit du second degré. On obtient \(\Delta '=b'^2-ac=36-20=16\). L'équation du second degré admet alors deux solutions distinctes \(x_1=\frac{6-\sqrt{16}}{4}\) et \(x_2=\frac{6+\sqrt{16}}{4}\). Donc \(x_1=\frac12\) et \(x_2=\frac52\).
Toutes les deux sont supérieurs à \(-\frac 12\). D'où \(S=\{\frac12 ; \frac 52\}\)
\(\sqrt {x^2+x-2}=-5x+1\) \(⟺\) \(\begin{cases} -5x+1\geq 0\\ x^2+x-2=(-5x+1)^2\end{cases}\) \(⟺\) \(\begin{cases} -5x\geq -1\\ x^2+x-2=25x^2-10x+1\end{cases}\)\(⟺\) \(\begin{cases} x\leq \frac{1}{5}\\ 24x^2-11x+3=0\end{cases}\).
Calculons le discriminant du second degré. On obtient \(\Delta =b^2-4ac=121-288=-167\).
\(\Delta <0\) donc l'équation du second degré n'admet pas de solution dans \(\mathbb{R}\).
D'où l'équation irrationnelle n'admet pas de solution. D'où \(S=\emptyset\)
B.-INEQUATIONS IRRATIONNELLES⚓
Définition : I.-Inéquations irrationnelles
Dans cette partie, nous allons voir les inéquations irrationnelles du type : \(\sqrt {A(x)}\leq \sqrt {B(x)}\), \(\sqrt {A(x)}\leq B(x)\) et \(\sqrt {A(x)}\geq B(x)\)où \(A(x)\) et \(B(x)\) sont deux polynômes de degré inférieur ou égal à \(2\).
I.1- Inéquations irrationnelles du type :
\(\sqrt {A(x)}\leq \sqrt {B(x)}\)
Activité
Question⚓
Soient \(a\) et \(b\) deux réels et considérons l’inégalité \(\sqrt {a}\leq \sqrt {b}\).
Quelles conditions doivent vérifier \(a\) et \(b\) pour que l’inégalité ait un sens ?
Ecrire cette inégalité sans le symbole de la racine carrée.
Solution⚓
Pour que l'inégalité ait un sens, il faut \(a\geq 0\) et \(b\geq 0\)
En élevant au carré les deux membres de l'inégalité, on trouve \(a\leq b\).
Donc \(\sqrt {a}\leq \sqrt {b}\) \(⟺\) \(\begin{cases} a\geq 0\\ b\geq 0 \\a\leq b\end{cases}\).
Remarque :
Dans le système ci-dessus l'inégalité \(b\geq 0\) est de trop du fait que \(a\geq 0\) et \(a\leq b\). Ceci entraine forcément \(b\geq 0\).
Pour résoudre une inéquation irrationnelle du type : \(\sqrt {A(x)}\leq \sqrt {B(x)}\) , on utilise la propriété suivante.
Propriété
Soient \(A(x)\) et \(B(x)\) deux polynômes de degrés inférieurs ou égaux à deux.
On a : \(\sqrt {A(x)}\leq \sqrt {B(x)}\) \(⟺\) \(\begin{cases}A(x) \geq 0\\ A(x)\leq B(x)\end{cases}\)
Démonstration
\(\sqrt {A(x)}\leq \sqrt {B(x)}\) \(⟺\) \(\begin{cases}A(x) \geq 0 \\ B(x) \geq 0 \\A(x)\leq B(x)\end{cases}\)
Or \(B(x) \geq A(x)\) et \(A(x)≥0\) signifie aussi \(B(x)≥0\).
D'où \(\sqrt {A(x)}\leq \sqrt {B(x)}\) \(⟺\) \(\begin{cases}A(x) \geq 0\\ A(x)\leq B(x)\end{cases}\)
Exemple
Question⚓
Résoudre dans \(IR\) l’inéquation irrationnelle \(\sqrt {x^2-1}\leq \sqrt {x+5}\)
Solution⚓
On a : \(\sqrt {x^2-1}\leq \sqrt {x+5}\) \(⟺\)\(\begin{cases} x^2-1\geq 0\\ x^2-1\leq x+5\end{cases}\) \(⟺\)\(\begin{cases} x^2-1\geq 0 \hspace{1.1cm} \textcolor{red}+ \\ x^2-x-6\leq 0\hspace{0.3cm} \textcolor{red} -\end{cases}\)
Dressons le tableau de signes
Les intervalles solutions correspondent aux parties colorées en verte c-à-d les colonnes où on voit les signes \(\begin{cases} \textcolor{red}+ \\ \textcolor{red} -\end{cases}\).
D'où \(S=[-2 ; -1] \cup [1 ; 3]\)
Application
Question⚓
Résoudre dans \(R\) les inéquations irrationnelles suivantes :
\(\sqrt {4x-1}\leq \sqrt {3-x^2}\)
\(\sqrt {x^2+2x}<\sqrt {4x+1}\)
Solution⚓
Résolvons dans \(\mathbb{R}\) les inéquations irrationnelles suivantes :
\(\sqrt {4x-1}\leq \sqrt {3-x^2}\) \(⟺\)\(\begin{cases} 4x-1\geq 0\\ 4x-1\leq 3-x^2\end{cases}\) \(⟺\)\(\begin{cases} 4x-1\geq 0 \hspace{1.1cm} \textcolor{red}+ \\ x^2+4x-4\leq 0\hspace{0.3cm} \textcolor{red} -\end{cases}\)
Dressons le tableau de signes
L'intervalle solution correspond à la partie colorée en verte c-à-d la colonne où on voit les signes \(\begin{cases} \textcolor{red}+ \\ \textcolor{red} -\end{cases}\).
D'où \(S=[\frac14 ; -2+2\sqrt2 ]\)
\(\sqrt {x^2+2x}<\sqrt {4x+1}\) \(⟺\)\(\begin{cases} x^2+2x\geq 0\\ x^2+2x<4x+1\end{cases}\) \(⟺\)\(\begin{cases} x^2+2x\geq 0 \hspace{1.1cm} \textcolor{red}+ \\ x^2-2x-1< 0\hspace{0.3cm} \textcolor{red} -\end{cases}\)
Dressons le tableau de signes
L'intervalle solution correspond à la partie colorée en verte (ouverte en \(1+\sqrt2\))c-à-d la colonne où on voit les signes \(\begin{cases} \textcolor{red}+ \\ \textcolor{red} -\end{cases}\).
D'où \(S=[0 ; 1+\sqrt2 [\)
I.2-Inéquations irrationnelles du type :
\(\sqrt {A(x)} \leq B(x)\)
Activité
Question⚓
Soient \(a\) et \(b\) deux réels et considérons l’inégalité \(\sqrt {a} \leq b\).
Quelles conditions doivent vérifier \(a\) et \(b\) pour que l’inégalité ait un sens ?
Ecrire cette inégalité sans le symbole de la racine carrée.
Solution⚓
Pour que l'inégalité ait un sens, il faut \(a\geq 0\). et \(b\geq 0\)
Il faut \(a\geq 0\) et \(b\geq 0\) sinon l'inégalité est impossible.
Donc \(\sqrt {a}=b\)\(⟺\) \(\begin{cases} a\geq 0\\ b\geq 0 \\a\leq b^2\end{cases}\).
Remarque :
Pour résoudre une inéquation irrationnelle du type : \(\sqrt {A(x)} \leq B(x)\) , on utilise la propriété suivante.
Propriété
Soient \(A(x)\) et \(B(x)\) deux polynômes de degrés inférieurs ou égaux à deux.
On a : \(\sqrt {A(x)} \leq B(x)\) \(⟺\) \(\begin{cases}A(x) \geq 0\\B(x) \geq 0\\ A(x)\leq (B(x))^2\end{cases}\)
Exemple
Question⚓
Résoudre dans \(IR\) l’inéquation irrationnelle \(\sqrt {x^2-x-6} \leq {x-1}\)
Solution⚓
On a : \(\sqrt {x^2-x-6} \leq {x-1}\) \(⟺\)\(\begin{cases} x^2-x-6\geq 0\\ x-1\geq 0\\x^2-x-6 \leq (x-1)^2\end{cases}\) \(⟺\begin{cases} x^2-x-6\geq 0\\ x-1\geq 0\\x^2-x-6 \leq x^2-2x+1\end{cases}\)
\(⟺\) \(\begin{cases} x^2-x-6\geq 0 \hspace{0.1cm} \textcolor{red}+ \\ x-1\geq 0 \hspace{01.1cm} \textcolor{red} +\\ x-7 \leq 0 \hspace{1.1cm} \textcolor{red} -\end{cases}\)
Dressons le tableau de signes.
L'intervalle solution correspond à la partie colorée en verte c-à-d la colonne où on voit les signes \(\begin{cases} \textcolor{red}+ \\ \textcolor{red} + \\ \textcolor{red} -\end{cases}\).
D'où \(S=[3 ; 7]\)
Application
Question⚓
Résoudre dans \(R\) les inéquations irrationnelles suivantes :
\(\sqrt {4x-1}\leq \frac{1+2x}{2}\)
\(\sqrt { x^2+x-2}<-x+3\)
Solution⚓
Résolvons dans \(R\) les inéquations irrationnelles suivantes :
\(\sqrt {4x-1}\leq \frac{1+2x}{2}\) \(⟺\) \(\begin{cases} 4x-1\geq 0\\ \frac{1+2x}{2}\geq 0\\4x-1\leq (\frac{1+2x}{2})^2\end{cases}\) \(⟺\) \(\begin{cases} 4x-1\geq 0\\ 1+2x \geq 0\\4x-1\leq \frac{1+4x+4x^2}{4}\end{cases}\)
\(⟺\) \(\begin{cases} 4x-1\geq 0\\ 1+2x \geq 0\\16x-4\leq 1+4x+4x^2\end{cases}\) \(⟺\) \(\begin{cases} 4x-1\geq 0 \hspace{1.5cm} \textcolor{red}+ \\ 1+2x\geq 0 \hspace{1.5cm} \textcolor{red} +\\ 4x^2-12x+5 \geq 0 \hspace{0.1cm} \textcolor{red} +\end{cases}\)
Dressons le tableau de signes.
Les intervalles solutions correspondent aux parties colorées en verte c-à-d les colonnes où on voit les signes \(\begin{cases} \textcolor{red}+ \\ \textcolor{red} + \\ \textcolor{red}+\end{cases}\).
D'où \(S=[\frac14 ; \frac12] \cup [\frac52 ; +\infty [\)
\(\sqrt { x^2+x-2}<-x+3\) \(⟺\) \(\begin{cases} x^2+x-2\geq 0\\ -x+3\geq 0\\x^2+x-2 < (-x+3)^2\end{cases}\) \(⟺\begin{cases} x^2+x-2\geq 0\\ -x+3\geq 0\\x^2+x-2 < x^2-6x+9\end{cases}\)\(⟺\) \(\begin{cases} x^2+x-2\geq 0 \hspace{0.1cm} \textcolor{red}+ \\-x+3\geq 0 \hspace{0.7cm} \textcolor{red} +\\ 7x-11 < 0 \hspace{0.7cm} \textcolor{red} -\end{cases}\)
Dressons le tableau de signes.
Les intervalles solutions correspondent aux parties colorées en verte c-à-d les colonnes où on voit les signes \(\begin{cases} \textcolor{red}+ \\ \textcolor{red} + \\ \textcolor{red}-\end{cases}\).
D'où \(S=]\infty ; -2] \cup [1 ; \frac{11}{7}[\)
I.3- Inéquations irrationnelles du type :
\(\sqrt {A(x)} \geq B(x)\)
Activité
Question⚓
Soient \(a\) et \(b\) deux réels et considérons l’inégalité \(\sqrt {a} \geq b\).
Quelles conditions doivent vérifier \(a\) et \(b\) pour que l’inégalité ait un sens ?
Ecrire cette inégalité sans le symbole de la racine carrée.
Solution⚓
Pour que l'inégalité ait un sens, il faut \(a\geq 0\) et \(b\in \mathbb R\)
On distingue deux cas :
Lorsque \(b\leq 0\) , \(\sqrt {a} \geq b\) \(⟺\) \(a\geq 0\).
Lorsque \(b\geq 0\) , \(\sqrt {a} \geq b\) \(⟺\) \(\begin{cases} a\geq 0\\a\geq b^2\end{cases}\)
Donc \(\sqrt {a}\geq b\)\(⟺\) \(\(\begin{cases} a\geq 0 \\ b\leq 0 \end{cases}\) ou \(\begin{cases} a\geq 0\\ b\geq 0 \\a\geq b^2\end{cases}\)\).
Remarque :
Dans le deuxième système ci-dessus l'inégalité \(a\geq 0\) est une rédondance et est inutile car \(a\geq b^2\) signifie \(a\geq0\).
Pour résoudre une inéquation irrationnelle du type : \(\sqrt {A(x)} \geq B(x)\) , on utilise la propriété suivante.
Propriété
Soient \(A(x)\) et \(B(x)\) deux polynômes de degrés inférieurs ou égaux à deux.
On a : \(\sqrt {A(x)} \geq B(x)\) \(⟺\) \(\begin{cases}A(x) \geq 0\\B(x) \leq 0\end{cases}\) ou \(\begin{cases} B(x) \geq 0\\ A(x)\geq (B(x))^2\end{cases}\)
Remarque
En désignant par \(S_1\) l'ensemble des solutions du système 1 et par \(S_2\) l'ensemble des solutions du système 2 alors l'ensemble des solutions de l'inéquation irrationnelle \(\sqrt {A(x)} \geq B(x)\) sera : \(S=S_1\cup S_2\).
Exemple
Question⚓
Résoudre dans \(IR\) l’inéquation irrationnelle \(\sqrt {x^2-x-6} \geq {x-2}\)
Solution⚓
On a : \(\sqrt {x^2-x-6} \geq {x-2}\) \(⟺\) \(\begin{cases} x^2-x-6\geq 0\\ x-2\leq 0\end{cases}\) ou \(\begin{cases} x-2\geq 0 \\x^2-x-6 \geq (x-2)^2\end{cases}\)
\(⟺\) \(\begin{cases} x^2-x-6\geq 0 \hspace{0.1cm} \textcolor{red}+ \\ x-2\leq 0 \hspace{1.1cm} \textcolor{red} -\end{cases}\) ou \(\begin{cases} x-2\geq 0 \hspace{0.8cm} \textcolor{red}+ \\ 3x-10\geq 0 \hspace{0.3cm} \textcolor{red} +\end{cases}\)
Dressons les tableaux de signes.
Pour le système 1
\(\begin{cases} x^2-x-6\geq 0 \hspace{0.1cm} \textcolor{red}+ \\ x-2\leq 0 \hspace{1.1cm} \textcolor{red} -\end{cases}\)
Donc \(S_1=]-\infty ; -2]\)
Pour le système 2
\(\begin{cases} x-2\geq 0 \hspace{0.8cm} \textcolor{red}+ \\ 3x-10\geq 0 \hspace{0.3cm} \textcolor{red} +\end{cases}\)
Donc \(S_2=[\frac{10}{3} ; +\infty[\)
Ainsi l'ensemble des solutions dans \(IR\) de l’inéquation irrationnelle \(\sqrt {x^2-x-6} \geq {x-2}\) est :
\(S=]-\infty ; -2] \cup [\frac{10}{3} ; +\infty[\)
Application
Question⚓
Résoudre dans \(\mathbb R\) les inéquations irrationnelles suivantes :
\(\sqrt {3x+12} \geq {-x+2}\)
\(\sqrt {x^2+x+1} > {x+2}\)
Solution⚓
Résoudre dans \(\mathbb R\)
\(\sqrt {3x+12} \geq {-x+2}\) \(⟺\) \(\begin{cases} 3x+12\geq 0\\ -x+2\leq 0\end{cases}\) ou \(\begin{cases} -x+2\geq 0 \\3x+12 \geq (-x+2)^2\end{cases}\) \(⟺\) \(\begin{cases} 3x+12\geq 0 \hspace{0.1cm} \textcolor{red}+ \\ -x+2\leq 0 \hspace{0.2cm} \textcolor{red} -\end{cases}\) ou \(\begin{cases} -x+2\geq 0 \hspace{0.9cm} \textcolor{red}+ \\ x^2-7x-8\leq 0 \hspace{0.1cm} \textcolor{red} - \end{cases}\)
Dressons les tableaux de signes.
Pour le système 1
\(\begin{cases} 3x+12\geq 0 \hspace{0.1cm} \textcolor{red}+ \\ -x+2\leq 0 \hspace{0.2cm} \textcolor{red} -\end{cases}\)
Donc \(S_1=[2 ; +\infty[\)
Pour le systèmre 2
\(\begin{cases} -x+2\geq 0 \hspace{0.9cm} \textcolor{red}+ \\ x^2-7x-8\leq 0 \hspace{0.1cm} \textcolor{red} - \end{cases}\)
Donc \(S_2=[-1 ; 2]\)
Ainsi l'ensemble des solutions dans \(\mathbb R\) de l’inéquation irrationnelle \(\sqrt {3x+12} \geq {-x+2}\) est :
\(S=[-1 ; 2] \cup [2 ; +\infty[=[-1 ; +\infty[\)
2. \(\sqrt {x^2+x+1} > {x+2}\) \(⟺\) \(\begin{cases} x^2+x+1\geq 0\\ x+2 <0\end{cases}\) ou \(\begin{cases} x+2\geq 0 \\x^2+x+1 >(x+2)^2\end{cases}\) \(⟺\) \(\begin{cases} x^2+x+1\geq 0 \\ x+2 <0 \end{cases}\) ou \(\begin{cases} x+2\geq 0 \\ -3x-3> 0 \end{cases}\)
Résolvpns les systèmes sans tableaux de signes
Pour le système 1
\(\begin{cases} x^2+x+1\geq 0 \\ x+2 <0 \end{cases}\)
On a : \(x^2+x+1\geq 0\) est toujours vrai dans \(\mathbb R\) car le discriminant du trinôme du second degré est négatif
et \(x+2 <0\) \(⟺\) \(x<-2\). Donc \(S_1=]-\infty ; -2[\)
Pour le système 2
On a : \(\begin{cases} x+2\geq 0 \\ -3x-3> 0\end{cases}\) \(⟺\) \(\begin{cases} x \geq -2\\ -3x>3\end{cases}\) \(⟺\) \(\begin{cases} x \geq -2\\ x<-1\end{cases}\)
Donc \(S_2=[-2 ; -1[\)
Ainsi l'ensemble des solutions dans \(\mathbb R\) de l’inéquation irrationnelle \(\sqrt {x^2+x+1} > {x+2}\) est :
\(S=]-\infty ; -2[ \cup [-2 ; -1[=]-\infty ; -1[\)
TESTS⚓
TEST1
TEST2
TEST3
TEST 4
Question⚓
Résoudre dans \(\mathbb R\) l'inéquations irrationnelles \(\sqrt {2x+1}+ \sqrt {4x+5} \leq 4\)
Solution⚓
\(\sqrt {2x+1}+ \sqrt {4x+5} \leq 4\) \(⟺\) \(\begin{cases} 2x+1\geq 0 \\4x+5 \geq 0 \\ (\sqrt {2x+1}+\sqrt {4x+5})^2 \leq 16\end{cases}\)
\(⟺\) \(\begin{cases} x\geq -\frac12\\x\geq -\frac54 \\ (\sqrt {2x+1})^2+2\sqrt {2x+1} \times \sqrt {4x+5}+(\sqrt {4x+5})^2 \leq 16\end{cases}\) comme \(x\geq -\frac12\) nécessairement \(x\geq -\frac54\).
Finalement le système \(\begin{cases} x\geq -\frac12\\x\geq -\frac54 \\ (\sqrt {2x+1})^2+2\sqrt {2x+1} \times \sqrt {4x+5}+(\sqrt {4x+5})^2 \leq 16\end{cases}\)
\(⟺\) \(\begin{cases} x\geq -\frac12\\ 2x+1+2\sqrt {2x+1} \times \sqrt {4x+5}+4x+5 \leq 16\end{cases}\)
\(⟺\) \(\begin{cases} x\geq -\frac12\\ 6x+6+2\sqrt {2x+1} \times \sqrt {4x+5} \leq 16\end{cases}\)
\(⟺\) \(\begin{cases} x\geq -\frac12\\ 2\sqrt {(2x+1)(4x+5)} \leq -6x+10\end{cases}\)
\(⟺\) \(\begin{cases} x\geq -\frac12\\ \sqrt {(2x+1)(4x+5)} \leq -3x+5\end{cases}\).
L'inéquation 2 est de la forme \(\sqrt{A(x)}\leq B(x)\) traitée plus haut.
Par conséquent,
\(\sqrt {2x+1}+ \sqrt {4x+5} \leq 4\) \(⟺\) \(\begin{cases} x\geq -\frac12\\ -3x+5\geq 0 \\ (\sqrt {(2x+1)(4x+5)} )^2 \leq (-3x+5)^2 \end{cases}\)
\(⟺\) \(\begin{cases} x\geq -\frac12\\ x\leq \frac53\\ (2x+1)(4x+5) \leq 9x^2 -30x +25 \end{cases}\)
\(⟺\) \(\begin{cases} x\in [-\frac12 ; \frac53] \\ 8x^2 +14x + 5 \leq 9x^2 -30x +25 \end{cases}\)
\(⟺\) \(\begin{cases} x\in [-\frac12 ; \frac53] \\ x^2 -44x + 20\geq 0 \end{cases}\)
Résolvons dans \(\mathbb R\) l'inéquation \(x^2 -44x + 20\geq 0\)
\(\Delta'=(-22)^2-20=464\).
Donc le trinôme du second degré admet deux racines distinctes \(x_1\) et \(x_2\).
On a : \(\sqrt{\Delta}=4\sqrt{29}\) donc \(x_1=22-4\sqrt{29}\) et \(x_2=22+4\sqrt{29}\) notons que \(x_1<x_2\).
D'où \(x^2 -44x + 20\geq 0\) \(⟺\) \(x\in ]-\infty ; 22-4\sqrt{29}] \cup [22+4\sqrt{29} ; +\infty[\)
Ainsi, l'ensemble des solutions dans \(\mathbb R\) de l'inéquations irrationnelles \(\sqrt {2x+1}+ \sqrt {4x+5} \leq 4\) est \([-\frac12 ; \frac53]\cap ( ]-\infty ; 22-4\sqrt{29}] \cup [22+4\sqrt{29} ; +\infty[)=[-\frac12 ; 22-4\sqrt{29}]\).
Conclusion :
L'ensemble des solutions dans \(\mathbb R\) de l'inéquations irrationnelles \(\sqrt {2x+1}+ \sqrt {4x+5} \leq 4\) est \(S=[-\frac12 ; 22-4\sqrt{29}]\)