COMPETENCES EXIGIBLES⚓
Restituer la définition de fonction
Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction
MATERIEL⚓
Matériel de géométrie
Ordinateur
Vidéoprojecteur
RAPPEL DES PREREQUIS⚓
Calculs dans l'ensemble \(IR\).
Repère Cartésien.
Polynômes.
INTRODUCTION⚓
Le terme fonction est souvent employé pour désigner une fonction réelle d'une variable réelle, notamment dans l'enseignement secondaire, mais il recouvre aussi les notions de fonctions de plusieurs variables ou de fonctions définies sur d’autres espaces topologiques comme les variétés différentielles, ou sur des structures discrètes comme les graphes.
Une telle fonction peut représenter l'évolution d'une grandeur dans le temps ou décrire une grandeur qui dépend de la position de mesure dans un espace, comme la température ou la pression en météorologie. Elle peut aussi modéliser l'influence d'un ou plusieurs paramètres sur un résultat, comme le chiffre d'affaires d'une entreprise de production dépend du prix des produits et du nombre de produits vendus.
L'étude des fonctions numériques est motivée principalement par plusieurs grands types de problèmes :
la détermination du domaine et l'approximation des valeurs ;
la localisation des antécédents d'une valeur donnée, qui correspond à une résolution d'équation ;
la recherche d'un maximum ou d'un minimum, qui constitue un problème d'optimisation ;
une mesure globale des valeurs, qui se ramène à une question d'intégration.
Cette étude repose en général sur l'analyse des variations, la représentation graphique, l'approximation, l'interpolation ou le calcul de limites.
ACTIVITE⚓
1/ Défintion.⚓
Une fonction \(f\) est une correspondance d'un ensemble non vide \(I\) vers un ensemble non vide \(J\), qui à tout élément de \(I\) associe au plus un élément de \(J\).
Remarque :
Au plus un signifie 1 ou 0 élément.
2/ Notation et Vocabulaire.⚓
Notation :
La fonction \(f\) est notée :
\(\begin{array}{ccccc} f & : & I& \to & J\\ & & x & \mapsto & f(x) \\ \end{array}\)
Et on lit : \(f\) de \(I\) vers \(J\), qui a tout \(x\) associe \(f(x)\).
Vocabulaire :
\(I\) est appelé ensemble de départ ou source de \(f\).
\(J\) est appelé ensemble d'arrivée ou but de \(f\).
L'élément de \(J\) qui est associé à l'élément \(x\) de \(I\) est appelé image de \(x\) par \(f\) et est noté \(f(x)\), on lit \(f \)de \(x\)
L'élément \(x\) de \(I\) dont l'associé est l'élément \(y\) de \(J\) (c'est-à-dire \(f(x)=y\) ), est un antécédent de \(y\) par \(f\).
SI \(I\) est une partie de \(\mathbb{R}\), on dit que \(f\) est une fonction à variable réelle.
SI \(J\) est une partie de \(\mathbb{R}\), on dit que \(f\) est une fonction numérique.
Nota Bene :
Dans la suite, toutes fonctions considérées seront des fonctions numériques à variable réelle.
3/ Exemple.⚓
\(\begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R}& \to & \mathbb{R}\\ & & x & \mapsto & x^2+2x+3\\ \end{array}\)
L'expression de la fonction \(f\) est : \(f(x)=x^2+2x+3\).
Pour trouver l'image de \(3\) par \(f\), on calcule \(f(3)\).
\(f\left( 3\right) = 3^{2}+2\times 3+3=18\)
\(18\) est l'image de \(3\) par \(f.\)
Pour trouver un antécédent de \(6\), on résout l'équation : \(f(x)=6\).
\(f(x)=6\) équivaut à \(x^2+2x+3=6\)
qui équivaut à \(x^2+2x-3=0\)
qui équivaut à \(x=1\) ou \(x=-3\).
\(6\) a deux antécédents que sont \(1\) et \(-3\).
4/ Ensemble de définition ou Domaine de définition d'une fonction.⚓
Définition : Soit \(f\) une fonction définie de \(I\) vers \(J\).
On appelle ensemble de définition ou domaine de définition de \(f\) souvent noté \(D_{f}\), l'ensemble des réels \(x\) de \(I\) qui ont une image par \(f\) dans \(J\).
Notation : \(D_{f}\) = { \(x\in I / f(x) existe\) }
Exemple 1 :
La fonction \(\begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R}& \to & \mathbb{R}\\ & & x & \mapsto & 3x^3+x^2+x-5\\ \end{array}\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
En effet pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f(x) existe\).
\(D_f=\mathbb{R}\)
Nota Bene :
\(f\) est une fonction polynôme.
\(f(x)=3x^3+x^2+x-5\) est un polynôme.
Exemple 2 :
Soit la fonction :\(\begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R}& \to & \mathbb{R}\\ & & x & \mapsto & \frac {3x^3+x-5}{x^2-6}\\ \end{array}\)
\(f(x)\) existe si et seulement si \(x\in\mathbb{R}\) et \(x^2-6\not=0\)
\(f(x)\) existe si et seulement si \(x\not=\sqrt6\) et \(x\not=-\sqrt6\)
Donc \(D_f=\mathbb{R}\) \ {\(-\sqrt6 ; \sqrt6\)}
Nota Bene :
\(f\) est une fonction rationnelle parce que \(f(x)\) est le rapport de deux polynômes.
Applications
Question⚓
Détermine le domaine de définition de chacune des fonctions suiavntes :
\(\begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R}& \to & \mathbb{R}\\ & & x & \mapsto & \sqrt{2-x}\\ \end{array}\)
\(\begin{array}{ccccc} g& : & \mathbb{R}& \to & \mathbb{R}\\ & & x & \mapsto & \frac {x-2}{x^2-3x+2}\\ \end{array}\)
\(\begin{array}{ccccc} h & : & \mathbb{R}& \to & \mathbb{R}\\ & & x & \mapsto & x^4-5x^3+x^2-2x-1\\ \end{array}\)
\(\begin{array}{ccccc} k & : & ]-1 ;+\infty [& \to & \mathbb{R}\\ & & x & \mapsto & \sqrt {2x+8}\\ \end{array}\)
\(\begin{array}{ccccc} t & : & ]-\infty ; 0]& \to & \mathbb{R}\\ & & x & \mapsto & \frac {3x^3+x-5}{x^2-6}\\ \end{array}\)
Solution⚓
\(\begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R}& \to & \mathbb{R}\\ & & x & \mapsto & \sqrt{2-x}\\ \end{array}\)
\(f(x)\) existe si et seulement si \(x\in\mathbb{R}\) et \(2-x\geq0\)
\(f(x)\) existe si et seulement si \(-x\geq-2\)
\(f(x)\) existe si et seulement si \(x\le 2\)
Donc \(D_f=]-\infty , 2]\)
\(\begin{array}{ccccc} g& : & \mathbb{R}& \to & \mathbb{R}\\ & & x & \mapsto & \frac {x-2}{x^2-3x+2}\\ \end{array}\)
\(g(x)\) existe si et seulement si \(x\in\mathbb{R}\) et \(x^2-3x+2\not =0\)
\(g(x)\) existe si et seulement si \(x\not=1\) et \(x\not=2\)
\(D_g=\mathbb{R}\) \ {\(1 ; 2\)} ou bien
\(Dg=]-\infty ; 1[\cup ] 1 ; 2[\cup] 2 ;+\infty[\)
\(\begin{array}{ccccc} h & : & \mathbb{R}& \to & \mathbb{R}\\ & & x & \mapsto & x^4-5x^3+x^2-2x-1\\ \end{array}\)
\(h\) est une fonction polynôme par conséquent \(h(x)\) existe si et seulement si \(x\in\mathbb{R}\)
\(D_h=\mathbb{R}\)
\(\begin{array}{ccccc} k & : & ]-1 ;+\infty [& \to & \mathbb{R}\\ & & x & \mapsto & \sqrt {2x+8}\\ \end{array}\)
\(k(x)\) existe si et seulement si \(x\in]-1 ;+\infty [\) et \(2x+8\geq0\)
\(k(x)\) existe si et seulement si \(x\in]-1 ;+\infty [\) et \(x\geq-4\)
\(k(x)\) existe si et seulement si \(x\in]-1 ;+\infty [\) et \(x\in[-4 ;+\infty [\)
Donc \(D_k=]-1 ,+\infty [\)
\(\begin{array}{ccccc} t & : & ]-\infty ; 0]& \to & \mathbb{R}\\ & & x & \mapsto & \frac {3x^3+x-5}{x^2-6}\\ \end{array}\)
\(t(x)\) existe si et seulement si \(x\in]-\infty ;0]\) et \(x^2-6\not=0\)
\(t(x)\) existe si et seulement si \(x\in]-\infty ;0]\) , \(x\not=\sqrt6\) et \(x\not=-\sqrt6\)
Donc \(D_t=]-\infty ;0]\) \ {\(-\sqrt6 \)} ou bien
\(D_t=]-\infty ; -\sqrt 6[\cup ] -\sqrt 6 ; 0]\).
Attention :
La fonction \(f\) telle que : \(\begin{array}{ccccc} f& : & [-2 ; +\infty [& \to & \mathbb{R}\\ & & x & \mapsto & x^2-3x+2\\ \end{array}\) est définie si et seulement si \(x\in\mathbb{R}\) et \(x\in[-2 ; +\infty [\) ;
\([-2 ; +\infty [\) représentant l'ensemble de départ de \(f\).
\(D_f=[-2 ; +\infty [\).
La fonction \(g\) telle que : \(\begin{array}{ccccc} g & : & \mathbb{R}& \to &[2 ; +\infty [ \\\ & & x & \mapsto & x^2-3x-2\\ \end{array}\) est définie si et seulement si \(x\in\mathbb{R}\) et \(g(x)\in[2 ; +\infty [\) ,
\([2 ; +\infty [\) représentant l'ensemble d'arrivée de \(g\)
\(g(x)\) existe si et seulement si \(x\in\mathbb{R}\) et \(x^2-3x-2\geq 2\),
\(g(x)\) existe si et seulement si \(x^2-3x-4\geq 0\),
\(g(x)\) existe si et seulement si \(x\le -1\) ou \(x\geq 4\).
\(Dg=]-\infty ; -1]\cup [4 ;+\infty[\).