Introduction⚓
Les lignes de niveau, également appelées courbes de niveau, sont des éléments essentiels en cartographie et en analyse mathématique.
Définition :
En mathématiques, les lignes de niveau dans le plan sont des courbes qui représentent les points où une fonction scalaire prend une valeur constante.
Si \(f\) est une fonction scalaire définie sur le plan \((P)\) à valeurs dans l'ensemble \(\mathbb R\) alors la ligne de niveau pour une valeur constante \(k\) est l'ensemble des points \(M\) du plan tels que \(f(M)=k\).
Exemple:
Considérons la fonction \(f\) définie par \(f(M) = \vec{MA}\cdot\vec{AB}\). Les lignes de niveau de cette fonction sont les droites perpendiculaires à \((AB)\).
Utilité des lignes de niveau:
Les lignes de niveau sont des outils puissants pour comprendre les variations d’altitude et les propriétés des fonctions dans un espace géométrique.
Elles permettent de repérer les points où la fonction atteint certaines valeurs spécifiques.
Elles sont utilisées en cartographie, en géologie et dans de nombreux autres domaines scientifiques.
En cartographie, les courbes de niveau indiquent les reliefs (montagnes, vallées, etc.).
Interprétation géométrique
Imaginez que vous ayez une carte topographique représentant l’altitude d’une région. Les courbes de niveau sur cette carte sont des exemples de lignes de niveau.
Chaque courbe de niveau relie les points ayant la même altitude. Par exemple, si vous suivez une courbe de niveau de 100 mètres, vous restez à une altitude constante de 100 mètres.
Compétences exigibles⚓
Déterminer et de représenter les lignes de niveau définies par :
\(aMA^2-bMB^2=k\)
\(\frac{MA}{MB}=k\)
\(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=k\) avec \(a,b,k\) des réels donnés.
Matériel⚓
Pour l'élève
Cahiers, calculatrice, stylos, crayon, gomme, matériel géométrique
Pour le professeur
Fiche pédagogique, craies, tableau, éponge, matériel géométrique, matériel multimédia
Rappel / prérequis⚓
Remarque :
Tu as besoin de revoir le cours sur barycentre et produit scalaire.
I-Activité⚓
Question⚓
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan tels que\( AB = 4\) cm.
a) Déterminer et construire le barycentre \(G\) des points pondérés \((A ; 3)\) et \((B ; -1)\).
b) Calculer \(AG^2\) et \(BG^2\).
Soient \(f, g, h\) et \(j\) des fonctions scalaires définies sur le plan.
Déterminer et construire l’ensemble \((C)\) des points\( M\) du plan tels que
a) \(f(M)=3\vec{MA}^2 -\vec{MB}^2=26\) \(\textcolor{black} {\hspace{0.2cm} (construire\hspace{0.2cm} en\hspace{0.2cm} noir\hspace{0.2cm} cet \hspace{0.2cm} ensemble)}\)
b) \(g(M)=MA^2-MB^2=16\) \(\textcolor{red} {\hspace{0.2cm} (construire\hspace{0.2cm} en\hspace{0.2cm} rouge\hspace{0.2cm} cet \hspace{0.2cm} ensemble)}\)
c) \(h(M)=\frac{MA}{MB}=\frac{1}{2}\) \(\textcolor{green} {\hspace{0.2cm} (construire\hspace{0.2cm} en\hspace{0.2cm} vert\hspace{0.2cm} cet \hspace{0.2cm} ensemble)}\)
d) \(j(M)=\vec{MA}\cdot\vec{MB}=5\) \(\textcolor{blue} {\hspace{0.2cm} (construire\hspace{0.2cm} en\hspace{0.2cm} bleu\hspace{0.2cm} cet \hspace{0.2cm} ensemble)}\)
Solution⚓
a) \(\vec{AG}=\frac{-1}{2}\vec{AB}\)
b) \(AG^2=\frac{1}{4}AB^2\). D'où \(AG^2=4\) ;
\(BG^2=\frac{9}{4}AB^2\). D'où \(BG^2=36\)
On a :
a) \(3\vec{MA}^2 -\vec{MB}^2=26\). On a : \(3-1\neq0\) donc le barycentre des points pondérés \((A ; 3)\) et \((B ; -1)\) existe.
Appelons le \(G\).
\(3\vec{MA}^2 -\vec{MB}^2=\)\( 2\vec{MG}^2 +3\vec{GA}^2 -\vec{GB}^2=26\)
\(\Leftrightarrow\)\(2\vec{MG}^2 =26-3\vec{GA}^2 +\vec{GB}^2\) \(\Leftrightarrow\)\(2\vec{MG}^2 =26-3\times 4+36\)
\(2\vec{MG}^2 =50\). Donc \(\vec{MG} =5\). Et l'ensemble des points est le cercle de centre G et de rayon \(5\) cm.
b) \(MA^2-MB^2=16\). On a :\(1-1=0\) donc le barycentre des points pondérés \((A ; 1)\) et \((B ; -1)\) n'existe pas.
\(MA^2-MB^2=(\vec{MA} -\vec{MB})\cdot (\vec{MA} +\vec{MB})\). Donc \(MA^2-MB^2=\vec{BA}\cdot (\vec{MA} +\vec{MB})\).
Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). On a alors \(MA^2-MB^2=2\vec{BA}\cdot \vec{MI}\). \(MA^2-MB^2=16\) \(\Leftrightarrow\) \(\vec{IM}\cdot \vec{AB}=8\).
Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(M\) sur \((AB)\). On a ainsi \(\vec{IM}\cdot \vec{AB}=\overline{IH} \times \overline{AB}\).
\(MA^2-MB^2=16\) \(\Leftrightarrow\) \(\overline{IH} \times \overline{AB}=8\) \(\Leftrightarrow\) \(\overline{IH}=\frac{8}{\overline{AB}}=2\).
avec (\(\vec{IM}\) et \(\vec{AB}\) sont de même sens ). D'où \(H\) est le point \(B\).
L’ensemble des points M du plan tels que : \(MA^2-MB^2=16\) où \(AB = 4\) est la droite perpendiculaire à (AB) au point B.
Propriété
Soit \(A\) et \(B\) deux ponts distincts du plan, \(k\) un nombre réel strictement positif.
Si \(k ≠ 1\), alors la ligne de niveau \(k\) de l’application : \(M ⟼ \frac{MA}{MB}\) est le cercle de diamètre \([G_1G_2]\)
où \(G_1 = bar\{(A , 1), (B , 𝑘)\}\) et \(G_2 = bar\{(A , 1), (B , -𝑘)\}\)
Si \(𝑘 = 1\), alors la ligne de niveau \(1\) de l’application : \(M ⟼ \frac{MA}{MB}\) est la médiatrice du segment \([AB]\).
Remarque
On peut aussi se ramener à la ligne de niveau précédente en écrivant :
\(\frac{MA^2}{MB^2}=k^2\) \(\Leftrightarrow\) \(MA^2- k^2 MB^2=0\) avec \(a=1\) et \(b=k^2\)
c) \(\frac{1}{2}≠ 1\), donc l’ensemble des points \(M\) tel que \(\frac{MA}{MB}=\frac{1}{2}\) est le cercle de diamètre \([G_1G_2]\)] où
\(G_1 = bar\{(A , 1), (B , \frac{1}{2})\}\) et \(G_2 = bar\{(A , 1), (B , -\frac{1}{2})\}\)
ou bien \(G_1 = bar\{(A , 2), (B , 1)\}\) et \(G_2 = bar\{(A , 2), (B , -1)\}\)
d) \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=5\)
Soit \(I\) milieu de \([AB]\).
On a : \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=(\vec{MI}+\vec{IA})\cdot(\vec{MI}+\vec{IB})=MI^2+\vec{MI}\cdot(\vec{IA}+\vec{IB})+\vec{IA}\cdot\vec{IB}\)
\(I\) est le milieu de \([AB]\) donc \(\vec{IA}=-\vec{IB}\).
Par conséquent, \(\vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}\) et \(\vec{IA}\cdot\vec{IB}=-IA^2=-\frac{AB^2}{4}\).
D'où \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=5\) \(\Leftrightarrow\) \(MI^2=5+\frac{AB^2}{4}\) \(\Leftrightarrow\) \(MI^2=9\) \(\Leftrightarrow\) \(MI=3\)
L'ensemble des points est le cercle de centre \(I\) et de rayon \(3\) cm.
II- Test de connaissances⚓
III- Pour aller plus loin⚓
Exercice⚓
Question⚓
Dans le plans muni d'un repère orthonormé \((O,\vec i, \vec j )\), on donne deux points \(A\) et \(B\) distincts.
Soit \(E_k=\{M\in(P)/\vec{MA}\cdot\vec{MB}=k\}\), où \(k\) est un paramètre réel. On note \(I\) le milieu de \([AB]\).
Déterminer \(E_k\) suivant les valeurs de \(k\).
On donne \(AB=6\) cm.
Déterminer dans chacun des cas suivant, l'ensemble \(E_k\).
a) \(k=-10\)
b) \(k=-9\)
c) \(k=5\)
Solution⚓
On a :
\(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=(\vec{MI}+\vec{IA})\cdot(\vec{MI}+\vec{IB})=MI^2+\vec{MI}\cdot(\vec{IA}+\vec{IB})+\vec{IA}\cdot\vec{IB}\)
\(I\) est le milieu de \([AB]\) donc \(\vec{IA}=-\vec{IB}\).
Par conséquent, \(\vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}\) et \(\vec{IA}\cdot\vec{IB}=-IA^2=-\frac{AB^2}{4}\).
D'où \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=k\) \(\Leftrightarrow\) \(MI^2=k+\frac{AB^2}{4}\)
Si \(k+\frac{AB^2}{4}<0\) alors \(E_k=\Phi\)
Si \(k+\frac{AB^2}{4}=0\) alors \(E_k=\{I\}\)
Si \(k+\frac{AB^2}{4} >0\) alors \(E_k=C(I, \sqrt{k+\frac{AB^2}{4}})\)
On donne \(AB=6\) cm.
a) Pour \(k=-10\) alors \(k+\frac{AB^2}{4}=-10+9=-1\) et donc \(E_{-10}=\Phi\).
b) Pour \(k=-9\) alors \(k+\frac{AB^2}{4}=-9+9=0\) et donc \(E_{-9}=\{I\}\).
c) Pour \(k=7\) alors \(k+\frac{AB^2}{4}=7+9=16\) et donc \(E_{7}=C(I, 4)\).