COMPETENCES EXIGIBLES⚓
Utiliser dans la résolution des problèmes :
la probabilité d'un événement ou d'une réunion d'événements
la probabilité conditionnelle d'un événement par rapport à un événement de probabilité non nulle
la formule des probabilités totales.
MATERIEL⚓
Ordinateur ou smartphone
PREREQUIS⚓
Dénombrement
Vocabulaire probabiliste
Activité⚓
Enoncé⚓
Le ministère du tourisme classe chaque année les hôtels de Dakar en trois
catégories selon la qualité de leurs prestations. Les plus confortables sont
classés dans la catégorie \(A\), d’autres dans la catégorie \(B\) et le reste en catégorie
\(C\). On constate que, chaque année, \(5\%\) des hôtels de la catégorie \(A\) sont
relégués dans la catégorie \(B\) et \(1\%\) en catégorie \(C\), alors que \(20\%\) des hôtels de
la catégorie \(B\) sont promus dans la catégorie \(A\). De même, \(5\%\) des hôtels de la
catégorie \(B\) sont relégués en \(C\) alors que \(20\%\) de la catégorie \(C\) sont promus en
catégorie \(B\) et \(1\%\) en \(A\).
En 2023, le classement était tel que le quart des hôtels étaient classés dans la
catégorie \(A\) et un quart dans la catégorie \(B\) .
Aide le ministère à faire les prévisions pour l’année 2024.
Analyse des données⚓
Les données sont bien analysées
Les événements sont clairement identifiés
La probabilité des événements réalisés identifiée
Un espace probabilisé est identifié
Un arbre de probabilité est utile
Les probabilités conditionnelles sont identifiées
La formule des probabilités totales utilisée
Solution⚓
Notons \(A _1\)l’événement : « l’hôtel est classé dans la catégorie A en 2023» ,\( B _1\)l’événement : « l’hôtel est classé dans la catégorie B en 2023» et \(C_1\) l’événement : « l’hôtel est classé dans la catégorie C en 2023» .
D'aprés les hypothèses : \(p(A_1)=p(B_1)=\frac 14\).
Comme la somme des probabilités des événements élémentaires est égale à \(1\), on a alors : \(p(C_1)=1-p(A_1)-p(B_1)=1-\frac 12=\frac 12\).
Notons \(R_B\)l’événement : « l’hôtel est relégué en catégorie B en 2024» ,\( R_C\)l’événement : « l’hôtel est relégué catégorie C en 2024».
Notons \(P_A\)l’événement : « l’hôtel est promu en catégorie A en 2024» ,\( P_B\)l’événement : « l’hôtel est promu en catégorie B en 2024» .
Notons \(V\) l’événement : « l’hôtel reste dans sa catégorie en 2024 ».
Les informations fournies dans le texte nous permettent de voir que :
\({p\left( R_B\,\middle|\, A_1\right)}=0,05\), \({p\left( R_C\,\middle|\, A_1\right)}=0,01\), \({p\left( P_A\,\middle|\, B_1\right)}=0,2\) , \({p\left( R_C\,\middle|\, B_1\right)}=0,05\), \({p\left( P_B\,\middle|\, C_1\right)}=0,2\) et \({p\left( P_A\,\middle|\, C_1\right)}=0,01\).
\({p\left( V\,\middle|\, A_1\right)}=1-({p\left( R_B\,\middle|\, A_1\right)}+{p\left( R_C\,\middle|\, A_1\right)})=\frac {47}{50}\).
\({p\left( V\,\middle|\, B_1\right)}=1-({p\left( P_A\,\middle|\, B_1\right)}+{p\left( R_C\,\middle|\, B_1\right)})=\frac 34\).
\({p\left( V\,\middle|\, C_1\right)}=1-({p\left( P_A\,\middle|\, C_1\right)}+{p\left( P_B\,\middle|\, C_1\right)})=\frac {79}{100}\).
Notons \(A _2\)l’événement : « l’hôtel est classé dans la catégorie A en 2024». D'aprés la formule des probabilités totales : \(p(A_2)={p(A_1)}\times {p\left( V\,\middle|\, A_1\right)}+{p(B_1)}\times {p\left( P_A\,\middle|\, B_1\right)}+{p(C_1)}\times {p\left( P_A\,\middle|\, C_1\right)}\).
\(p(A_2)=\frac 14 \times \frac {47}{100}+\frac 14 \times \frac 15+\frac 12 \times \frac {1}{100}=\frac {29}{100}\).
Notons \(B _2\)l’événement : « l’hôtel est classé dans la catégorie B en 2024». D'aprés la formule des probabilités totales : \(p(B_2)={p(A_1)}\times {p\left( R_B\,\middle|\, A_1\right)}+{p(B_1)}\times {p\left( V\,\middle|\, B_1\right)}+{p(C_1)}\times {p\left( P_B\,\middle|\, C_1\right)}\).
\(p(B_2)=\frac 14 \times \frac {5}{100}+\frac 14 \times \frac {75}{100}+\frac 12 \times \frac {20}{100}=\frac {3}{10}\).
Notons \(C _2\)l’événement : « l’hôtel est classé dans la catégorie C en 2024». D'aprés la formule des probabilités totales : \(p(C_2)={p(A_1)}\times {p\left( R_C\,\middle|\, A_1\right)}+{p(B_1)}\times {p\left( R_C\,\middle|\, B_1\right)}+{p(C_1)}\times {p\left( V\,\middle|\, C_1\right)}\).
\(p(C_2)=\frac 14 \times \frac {1}{100}+\frac 14 \times \frac {5}{100}+\frac 12 \times \frac {79}{100}=\frac {41}{100}\).
La situation en 2024 se présente comme suit :\(29\%\) des hôtels sont dans la catégories \(A\) , \(30\%\) sont dans la catégories \(B\) et \(41\%\) dans la catégorie \(C\).