COMPETENCES EXIGIBLES⚓
Déterminer l'équation cartésienne d'une droite connaissant un vecteur directeur et un point de cette droite.
Donner le système d'équations paramétriques d'une droite.
MATERIEL⚓
Matériel de géométrie
Ordinateur
Vidéoprojecteur
RAPPEL DES PREREQUIS⚓
Coefficient directeur
Equation générale
Equation réduite
Vecteur directeur
Condition de parallélisme et d'orthogonalité de deux vecteurs
ACTIVITE⚓
Question⚓
Le plan est muni d’un repère \((O,\vec i,\vec j)\)
On donne :
les points \(A (2 ;-1)\), \(B (3 ; 2)\) et \(C (4 ;-3)\)
le vecteur \(\vec v(-5 ;2)\)
1) Détermine une équation cartésienne de la droite (D1) passant par A et B
2) Détermine un système d'équations paramétriques de la droite (D2) passant par C
et de vecteur directeur \(\vec v\).
3) Détermine l'intersection des droites (D1) et (D2).
Solution⚓
1) \(M(x,y)\) est un point de la droite (D1) , signifie que \(\vec {AM}(x-2 ; y+1)\)
est colinéaire au vecteur \(\vec{AB}(1 ;3)\).
Ce qui équivaut à: \(3(x-2)-1(y+1)=0\).
D'où (D1) :\( 3x -y - 7 = 0\) (équation générale) ou \(y = 3x-7\) ( équation réduite).
2) \(M(x ;y)\) appartient à la droite (D2) équivaut à \(\vec {CM}(x-4 ; y+3)\) et \(\vec v\) sont colinéaires.
Ce qui signifie qu'il existe un réel \(k\in \mathbb R\) \(\ \)tel que \(\vec {CM}=k\vec v\).
\(\vec {CM}=k\vec v \Leftrightarrow \) \(\begin{cases}x-x_C=\ k\times x_\vec v \\y-y_C=\ k\times y_\vec v\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x-4=\ -5k\\y+3=2\ k\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left \{ \begin{array}{rcl} x&=&-5k+4 \\ y&=&2k-3 \end{array} \right.\)
Le système :\(\left \{ \begin{array}{rcl} x&=&-5k+4 \\ y&=&2k-3 \end{array} \right.\) , \(k\in ]-\infty , +\infty[\) est un système d'équations paramétriques de (D2).
3) Soit en appliquant la condition de colinéarité aux vecteurs \(\vec {CM}\) et \(\vec v\) comme au 1), ou en exprimant y en fonction de x à partir du système d'équations paramétriques précédent, on retrouve (D2) : \(y=\frac{-2}{5}x-\frac{7}{5}\)
(D1) et (D2) ont des coefficients directeurs différents, elles ne sont donc pas parallèles.
Je résous le système d'équations \(\left\{\begin{array}{rcl}y=3x-7 \\y=\frac{-2}{5}x-\frac{7}{5} \end{array} \right.\)
Par comparaison des lignes du système on : \(3 x - 7=\frac{-2}{5}x-\frac{7}{5}\).
Cette équation a pour solution \(x=\frac{28}{17}\).
En remplaçant \(x\) par cette valeur dans une des lignes du système on obtient \(y=\frac{-35}{17}\).
Les droites D1) et (D2) sont sécantes au point \(E\) de coordonnées \((\frac{28}{17},\frac{-35}{17})\).
Donc \(D_1\cap D_2=\{E\}\)