SIMILITUDES DIRECTES PLANES (SDP)

Les similitudes directes ont plusieurs applications en mathématiques et dans la vie réelle. Voici quelques exemples de leur utilité en terminale :

En géométrie:

• Les similitudes directes permettent d’étudier les transformations du plan, telles que les homothéties et les rotations.

• Elles sont utilisées pour résoudre des problèmes de construction géométrique, comme la construction d’un triangle similaire à un autre.

• Les similitudes directes sont également utiles pour comprendre les propriétés des figures géométriques, comme les triangles semblables.

• Les similitudes directes préservent les rapports de distances. Elles sont donc utilisées pour calculer des longueurs et des aires dans des figures similaires.

  Par exemple, si deux triangles sont semblables, les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles. On peut utiliser cette propriété pour résoudre des problèmes de proportions.

En modélisation :

• Dans le monde réel, les similitudes directes sont utilisées pour modéliser des phénomènes tels que la croissance, la réduction ou la dilatation.

• Par exemple, lorsqu’on étudie la croissance d’une population, on peut utiliser une similitude pour représenter l’évolution de la taille de la population au fil du temps.

En informatique et graphisme:

• Les transformations géométriques, y compris les similitudes directes, sont utilisées dans les logiciels de graphisme et de modélisation 3D.

• Elles permettent de manipuler des images, de créer des effets visuels et d’animer des objets.

Les similitudes directes sont un outil puissant pour comprendre et résoudre des problèmes géométriques, ainsi que pour modéliser des phénomènes dans divers domaines.

• Déterminer les éléments caractéristiques d’une similitude plane directe.

• Utiliser les similitudes pour résoudre des problèmes de géométrie.

• Donner l’écriture complexe d’une SDP.

• Déterminer les éléments caractéristiques d’une similitude directe plane.

Cahiers, calculatrice, stylos, crayon, gomme, matériel géométrique

Fiche pédagogique, craies, tableau, éponge, matériel géométrique, matériel multimédia

Le plan complexe \(P\) est muni du repère orthonormé \((O,\vec{u},\vec{v})\).

On appelle Similitude Plane Directe (SPD), une transformation (application bijective du plan) qui multiplie les longueurs (distances) par un réel \(k\) strictement positif et qui conserve la mesure des angles orientés. Le réel \(k\) strictement positif est le rapport de la SPD.

Autrement dit, si les points distincts \(A, B\) et \(C\) ont pour images respectives \(A', B'\) et \(C'\) par cette SPD

alors : \(A'B'=kAB\) et \((\vec{A'B'}, \vec{A'C'})=(\vec{AB}, \vec{AC})[2\pi]\)

a) Conséquence

Soit \(H\) une homothétie de centre \(Ω\) et de rapport \(𝜆\) strictement positif et \(R\) une rotation de même centre \(Ω\) et d’angle \(𝜃\). La composée \(H∘R\) multiplie les distances par \(𝜆\) et conserve les angles orientés. Donc la composée \(H∘R =R∘H\) est une similitude directe du plan.

b) Propriété :

Soit une similitude directe plane \(S\) et deux points distincts \(A\) et \(B\) d’images respectives \(A’\) et \(B’\) par \(S\).

Quel que soit le point \(M\), si \(M’ = S(M)\), alors : \((\vec{AM}, \vec{A'M'})=(\vec{AB}, \vec{A'B'})[2\pi]\)

L’angle \((\vec{AB}, \vec{A'B'})\) est appelé angle de la similitude directe plane S.

c) Remarques :

• Toute translation est une similitude directe plane de rapport \(1\) et d’angle nul.

• Toute rotation d'angle \(θ\) est une similitude directe plane de rapport \(1\) et d'angle \(θ\).

• Toute homothétie de rapport \(k (k>0)\) est une SDP de rapport \(k\) et d'angle nul.

• Toute homothétie de rapport \(k (k<0)\) est une similitude directe de rapport \(-k\) et d'angle \(π\).

a) Théorème

Une application \(S\) est une similitude directe plane si et seulement si, son écriture complexe est de la forme \(z'=az+b\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres complexes avec (\(a\) non nul).

Le rapport \(k\) de la similitude est égal au module de \(a\), et son angle \(θ\) est un argument de \(a\).

Donc \(k=|a|\) et \(θ=\arg(a)\).

Preuve du théorème :

Soit \(S\) une application du plan complexe dans lui-même d'équation complexe \(z'=az+b\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres complexes avec (\(a\) non nul).

Montrons que \(S\) est une similitude plane directe.

\(S\) a pour écriture complexe \(z'=az+b\), où \(a\) et \(b\) avec (\(a\) non nul).

Montrons que \(S\) est bijective.

L'équation complexe \(z'=az+b\) \(\Leftrightarrow z=\frac{z'-b}{a}\). Elle admet donc une unique solution dans \(\mathbb C\).

Donc l'application \(S\) est bijective. \(S\) est alors une transformation.

Soient \(A (z_A)\) et \(B (z_B)\) deux points distincts d'mages respectives \(A' (z_A' )\) et \(B' (z_B')\) par cette transformation \(S\).

• \(z'=az+b\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} z_A'=az_A+b \\ z_B'=az_B+b \end{cases}\) par différence on obtient : \(z_A'-z_B'=a(z_A-z_B)\)

Donc \(\frac{z_A'-z_B'}{z_A-z_B}=a\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} \frac{|z_A'-z_B'|}{|z_A-z_B|}=|a| \\ arg(\frac{z_A'-z_B'}{z_A-z_B})=arg(a) \end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} \frac{A'B'}{AB}=|a|=k \\ (\vec{AB}, \vec{A'B'})=arg(a)=θ \end{cases}\)

La transformation \(S\) multiplie les longueurs par un réel strictement positif et conserve la mesure des angles orientés.

Donc \(S\) est une similitude plane directe.

• Réciproquement

  Soient \(M (z)\) et \(A (z_A)\) deux points distincts d'mages respectives \(M'(z')\) et \(A' (z_A')\) par cette similitude \(S\).

  Donc \(\begin{cases} \frac{M'A'}{MA}=k \\ (\vec{MA}, \vec{M'A'})=θ \end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} \lvert \frac{z'-z_A'}{z-z_A} \rvert=k \\ arg(\frac{z'-z_A}{z-z_A})=θ \end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{z'-z_A'}{z-z_A} =ke^{iθ}=a\) \(\Leftrightarrow\) \(z'-z_A'=a(z-z_A)\)

  \(\Leftrightarrow\) \(z'=az-az_A+z_A'\) \(\Leftrightarrow\) \(z'=az+b\) avec \(b=-az_A+z_A'\)

b) Activité

Soit \(S\) une application du plan dans lui-même dont l'écriture complexe est \(z'=az+b\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres complexes avec \(a\neq 0\).

1. Montrer que si \(a=1\), alors \(S\) est une translation de vecteur \(\vec {u}\) d'affixe \(b\).

2. a) Montrer si \(a\neq1\), alors la similitude directe S admet pour seul point invariant I(w) avec \(\omega=\frac{b}{1-a}\).

   b) Montrer que si \(a\neq1\), alors l'écriture complexe de \(S\) est \(z'-\omega = a(z-\omega )\) \(k=|a|\) et \(θ=\arg(a)\).

Corrigé de l'activité

Soit \(S\) une similitude directe plane dont l’écriture complexe est \(z'=az+b\).

Si \(M\) d’affixe \(z\) est un point fixe de \(S\) alors \(S(M)=M\), c'est-à-dire \(z'=z\).

L’affixe \(z\) est solution de l’équation \(z=az+b\), soit \((1-a)z=b\).

1. Si \(a=1\), S est une translation de vecteur \(\vec{u}(b)\) car   \(z'=z+b\) \(\Leftrightarrow\) \(z'-z=b\) \(\Leftrightarrow\)\(\vec{MM'}=\vec{u}\) avec \(\vec{u}(b)\) .

           Si \(b = 0\), \(S\) est l’identité car \(z'=z\)  et tout point du plan est fixe .

           Si \(b ≠ 0\), alors le vecteur de translation est non nul, donc il n’y a aucun point fixe

2. Si \(a ≠ 1\),, l’équation \((1-a)z=b\) admet une solution unique \(\omega=\frac{b}{1-a}\) .

\(S\) a donc un point fixe unique d’affixe \(\Omega (ω)\) et on a : \(z'-\omega = a(z-\omega )\) où \(a=ke^{iθ}\).

\(z'-\omega = a(z-\omega )\) où \(a=ke^{iθ}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} (\vec{IM},\vec{IM'})=\theta \\ IM'=k\times IM \end{cases}\)

c) Propriétés :

Propriété 1 :

Toute similitude plane directe, d'écriture complexe \(z'=az+b\), avec \(a∈ C^*\setminus{\{1\}}\), admet un point fixe unique.

Ce point fixe est le centre de la similitude.

Propriété 2 :

L'équation complexe \(z'=az+b\) avec \(a\neq1\) d'une similitude plane directe de rapport \(k\) et d'angle \(θ\) peut se mettre sous la forme

\(z'-\omega = a(z-\omega )\) où \(a=ke^{iθ}\)

Propriété 3 :

Toute \(SPD\) qui n'est pas une translation peut se mettre sous la « composée commutative » d'une homothétie et d'une rotation de même centre.

Le rapport de la similitude est le rapport de l'homothétie, l'angle de la similitude est l'angle de la rotation et le centre est le centre commun de ces deux applications.

La donnée de ces trois éléments définit de façon unique la SPD. Ils sont de ce fait appelés éléments géométriques caractéristiques de cette similitude.

a) Propriété :

A toute similitude directe plane \(S: P ⟶P ; M(z)⟼M'(z')\), on peut associer une application bijective \(s : C ⟶C ; z⟼s(z)=z'\) telle que \(z’ = az + b, a∈C^*\) et \(b∈C\).

b) Eléments caractéristiques de la SDP \(S\) d’écriture complexe \(s(z)= az + b, a∈C^*\) et \(b∈C\).

• Si \(a = 1\) et \(b = 0\) alors \(z' = z\) et \(s\) est une application identique. On a \(S (M) = M\).

Tous les points sont fixes. La similitude directe plane est l’identité du plan complexe.

• Si \(a = 1\) et \(b ≠ 0\) alors \(z'= z+b ⇔ z'-z = b ⇔ \vec {MM'} =\vec{u}(b) ⇔ t_\vec{u}(M) = M'\) .

Et donc la similitude directe plane \(S\) est la translation de vecteur \(\vec{u}(b)\). Pas de points fixes.

Le vecteur \(\vec{u}\) est son élément géométrique caractéristique.

• Si \(a ≠ 1\) et \(b∈C\) alors \(s(z) = az + b\).

L’équation \(s(z) = z ⇔ az + b = z ⇔ z = \frac{b}{1-a}\).

Et \(Ω (ω =\frac{b}{1-a})\) est l’unique point fixe de \(S\). Dans ce cas, nous avons une similitude directe plane à centre d’écriture complexe \(z'-ω=a(z-ω)\) qui, suivant les valeurs de \(a∈C^*\setminus{\{1\}}\), est soit :

(i) une homothétie de centre \(Ω\) et de rapport \(a\) si \(a∈R^*\setminus{\{1\}}\) :

qui est une similitude directe de rapport \(a\) et d’angle nul, lorsque \(a>0\),

Le centre \(Ω (ω = \frac{b}{1-a})\), le rapport \(a\) et l'angle nul sont ses éléments géométriques caractéristiques.

qui est une similitude directe de rapport \(-a\) et d’angle \(π\), lorsque \(a<0\).

Le centre \(Ω (ω = \frac{b}{1-a})\), le rapport \(-a\) et l'angle \(\pi\) sont ses éléments géométriques caractéristiques.

Preuve :

On a \(\begin{cases}z'=az+b\\ \omega=a\omega+b\end{cases}\). En faisant la différence on obtient \(z'-ω=a(z-ω)\)

\(⇔\) \(\vec{ΩM'}=a\vec{ΩM}\) ∎

(ii) une rotation de de centre \(Ω\) et d’angle \(θ\) si \(a=e^{iθ}\). C’est-à-dire\( |a|=1\) et \(arg⁡(a)=θ\)

Le centre \(Ω (ω = \frac{b}{1-a})\) et l’angle \(θ\) sont ses éléments caractéristiques.

Preuve :

On a \(\begin{cases}z'=e^{i\theta}z+b\\ \omega=a\omega+b\end{cases}\). En faisant la différence on obtient \(z'-ω=e^{iθ} (z-ω)\)

\(⇔ \vec{ΩM'}=e^{iθ} \vec{ΩM}\)∎.

(iii) Soit \(R(Ω,θ)\) la rotation de centre \(Ω\) et d’angle \(θ\).

\(R(M)=M'\) \(⇔\) \(\begin{cases} ΩM=ΩM' \\ (\vec {ΩM} ; \vec{ΩM'})=θ [2\pi]\end{cases}\) \(⇔\) \(\begin{cases} |\frac{z'-ω}{z-ω}|=1\\ arg(\frac{z'-ω}{z-ω})=θ [2π]\end{cases}\)

\(⇔ \frac{z'-ω}{z-ω}= e^{iθ} ⇔ z'-ω=e^{iθ} (z-ω)\)

D’où \(z'-ω=e^{iθ} (z-ω)\) est l’écriture complexe de la rotation de centre \(Ω\) et d’angle \(θ\). ∎

Remarque :

Si \(θ=\frac{π}{2}\) alors \(z'-ω=i(z-ω)\) et on a un quart de tour direct de centre \(Ω\).

(i) Une composée dans un ordre quelconque d’une rotation de centre \(Ω\) et d’angle \(θ\) et d’une homothétie de même centre \(Ω\) et de rapport \(k\), est une similitude plane directe de centre \(𝛺\) de rapport \(𝑘=𝑎\) et d’angle \(𝜃=arg(𝑎)\).

Le centre \(Ω (ω ==\frac{b}{1-a})\), le rapport \(|a|\) et l’angle \(θ\) sont ses éléments caractéristiques.

Preuve :

Soit \(H\) l’homothétie de centre \(Ω\) et de rapport \(k=|a|\) et \(R\) la rotation de centre \(Ω\) et d’angle \(θ=arg⁡(a) [2π]\).

On va établir que \(S= R ∘ H= H ∘ R\).

Soit \(M\) un point quelconque d’affixe \(z\) et \(M’ = S(M)\) d’affixe \(z’\).

Si \(M_1 = H(M)\) et \(M’’ = R(M_1)\) alors \(M’’ = R∘H(M)\).

Avec les écritures complexes on a :

\(\begin{cases} h : z_1-\omega=k(z-\omega) \\ r : z''-\omega=e^{iθ}(z_1-\omega)\end{cases}\)

Soit \(z''-ω=ke^{iθ}(z-ω)\) \(⇔\) \(z''-ω=a(z-ω) ⇔ z''=az+ω(1-a)\)

\(⇔ z''=az+(\frac{b}{1-a})(1-a)⇔ z''=az+b\)

On en déduit que \(z’’=z'\). On a donc démontré que pour tout complexe \(z\), \(s(z)=r∘h(z)\).

Autrement dit, pour tout point \(M, S(M) = R∘H(M)\), donc \(S =R∘H\).

De même si \(M_2 = R(M)\) et \(M’’ = H(M_2 )\),alors \(M’’ = H∘R(M)\).

Avec les écritures complexes on déduit que \(z’’ = z’\) et donc pour tout complexe \(z, s(z)=h∘r(z)\).

Autrement dit, pour tout point \(M, S(M) = H∘R(M)\), donc \(S =H∘R\).

D’où \(S =R∘H=H∘R\) ∎

Définition :

Soit \(S\) une SDP d’écriture complexe \(z' = az + b\).

En posant \(z=x+iy\) ,\(a=α+iβ\) et \(b=u+iv\) avec \(x,y,α,β,u\) et \(v\) des réels alors on obtient :

\(x'+iy'= (α+iβ)(x+iy) +u+iv ⇔ x'+iy'=(αx-βy+u)+i(βx+αy+v)\) \(⇔\) \(\begin{cases} x'=\alpha x-\beta y +u\\ y'=\beta x+\alpha y+v \end{cases}\)

Ce système est appelé l’écriture analytique de la similitude plane directe \(S\).

Exemple 1 :

Déterminer l’expression analytique de la similitude directe \(S_1\) définie par \(z'=(1-2i)z+1-i\).

Solution.

Déterminons l’expression analytique de \(S_1\). Posons \(z = x + iy\) et \(z' = x'+ iy'\).

Alors, \(x'+ iy'= (1-2i)(x+ iy)+1-i = x+ iy – 2ix + 2y +1-i = x + 2y+1 + i(-2x + y- 1)\)

D’où l’écriture analytique de \(S-1\) est : \(\begin{cases} x'=x+2y+1 \\ y'=-2x+y-1\end{cases}\)

Exemple 2 :

Déterminer l’expression complexe puis la nature et les éléments caractéristiques de la SDP \(S_2\) dont l’expression analytique est : \(\begin{cases} x'=x-y-3 \\ y'=x+y+1\end{cases}\)

Solution :

Déterminons l’écriture complexe puis la nature et les éléments caractéristiques de la SDP \(S_2\)

\(z'=x'+iy'=x-y-3+i( x+y+1)=x+ix-y+iy-3+i\).

\(z'=x(1+i)+i^2 y+iy-3+1=x(1+i)+iy(1+i)-3+i\)

\(z'=(1+i)(x+iy)-3+i=(1+i)z-3+i\)

Donc \(z'=(1+i)z-3+i\) est l’écriture complexe de la SDP \(S_2\)

\(a=1+i ∈ C^* \setminus \{1\}\). Donc la SDP \(S_2\) a pour centre \(Ω\), d’affixe \(ω=\frac{-3+i}{-i}=-1-3i\).

Son rapport est \(|1+i|=\sqrt 2\) et son angle, \(arg⁡(1+i)=\frac{\pi}{4} [2π]\).

a) Théorème :

Soit \(S_1\) une similitude directe plane de rapport \(k_1\) et d’angle \(θ_1\) et \(S_2\) une similitude directe plane de rapport \(k_2\) et d’angle \(θ_2\). Alors,

• la composée \(S_2∘ S_1\) est une similitude directe de rapport \(k_1\times k_2\) et d’angle \(θ_1+θ_2\).

• la réciproque de \(S_1\), notée \(S_1^{-1}\) est une similitude directe de rapport \(\frac{1}{k_1}\) et d’angle \(- θ_1\).

Attention :

\(S_2∘ S_1=S_1∘ S_2\) lorsqu’elles ont le même centre. Sinon elles peuvent être différentes.

Exemple 1 :

On considère les similitudes directes planes \(S_1\) et \(S_2\) d’expressions complexes respectives

\(z'=-2i z+1-i\) et \(z'=(1+i) z-3+i\)

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des similitudes

\(S_2∘ S_1\) et \(S_1^{-1}\).

Solution.

Déterminons l’expression complexe de \(S_2∘ S_1\) et de \(S_1^{-1}\).

\(S_1\) a pour expression complexe \(z'=2e^{-i\frac{\pi}{2}} z+1-i\).

Donc elle est de rapport \(k_1=2\) et d’angle \(θ_1=-\frac{\pi}{2}\) .

\(S_2\) a pour expression complexe \(z'=\sqrt 2 e^{i \frac{\pi}{4}} z-3+i\).

Donc elle est de rapport \(k_2=\sqrt 2\) et d’angle \(θ_2=\frac{\pi}{4}\) .

La composée \(S_2∘ S_1\) est donc une similitude directe plane de rapport \(k_1 \times k_2=2\sqrt 2\) et d’angle \(θ_1+θ_2=-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}\).

L’expression complexe de \(S_2∘ S_1\) est \(z'=k_2 k_1 e^{i(θ_1+θ_2 )} z +k_2 e^{iθ_2 }b_1+b_2\)

\(⇔ z'=2\sqrt2 e^{-i π/4}z+\sqrt2 e^{i \frac{\pi}{4}}(1-i)-3+i\)

\(⇔ z'=2(1-i)z+(1+i)(1-i)-3+i\)

\(⇔ z'=(2-2 i)z-1+i\)

L’écriture complexe de la similitude directe plane \(S_2∘ S_1\) est \(z'=(2-2 i)z-1+i\)

Son centre est donc le point \(Ω\) d’affixe

\(ω=\frac{-1+i}{-1+2i}=\frac{3+i}{5}\)

La réciproque \(S_1^{-1}\) de \(S_1\) est une similitude directe plane de rapport \(k'=\frac{1}{k} =\frac{1}{2}\) et d’angle \(θ'=- θ_1=\frac{\pi}{2}\).

Son écriture complexe est

\(z'=1/2 e^{i π/2} z-1/2 e^{i π/2} (1-i)⇔z'=1/2 i z-\frac{1}{2} i(1-i)⇔z'=\frac{1}{2} i z-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} i\)

Son centre est donc le point \(Ω_1\) d’affixe

\(ω_1=\frac{\frac{-1-i}{2}}{1-\frac{1}{2}i} =\frac{-1-i}{2-i}=-\frac{1+3i}{5}\)

1. Propriétés géométriques des similitudes directes planes:

Soit \(S\) une similitude directe de centre \(Ω\), de rapport \(k\) et d’angle \(θ\), \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan d’images respectives \(A'\) et \(B'\). La similitude directe plane \(S\) possède les propriétés suivantes.

1) \(S\) conserve l’alignement, donc :

• l’image d’une droite est une droite.

L'image de la droite (AB) est la droite (A'B') où A’ et B’ sont les images respectives de A et B par la similitude directe.

• \(S\) conserve le contact.

• l’image du segment \([AB]\) est le segment \([A'B']\) de longueur \(k\times AB\).

2) \(S\) conserve le barycentre.

3) \(S\) conserve les angles orientés donc \(S\) conserve l’orthogonalité et le parallélisme.

4) L’image du cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\) est le cercle de centre \(S(O)\) et de rayon \(k\times r\).

5) Si une partie du plan a pour aire \(\Lambda\) alors son image par une similitude directe de rapport \(k\) a pour aire \(k^2\times \Lambda\).

2. Tableau récapitulatif

Exercice 1 :

On donne trois points \(A,B\) et \(C\) deux à deux distincts et un point \(D\) tels que :

\(\vec{AD}=2\vec{AB}-3\vec{CD}\) .

On considère la similitude directe \(S\) telle que : \(S(A) = A',S(B) = B',S(C) = C'\) et \(S(D) = D'\).

Justifie que : \(\vec{A'D'}=2\vec{A'B'}-3\vec{C'D'}\) .

Solution :

\(\vec{AD}=2\vec{AB}-3\vec{CD}\) \(\Leftrightarrow\)\(\vec{AD}=2\vec{AB}-3(\vec{CA}+\vec{AD})\)

\(\Leftrightarrow\)\(\vec{AD}-2\vec{AB}+3(\vec{CA}+\vec{AD})=\vec{0}\) .

\(\Leftrightarrow\)\(\vec{AD}-2\vec{AB}+3\vec{CA}+3\vec{AD}=\vec{0}\) .

\(\Leftrightarrow\)\(-2\vec{AB}-3\vec{AC}+4\vec{AD}=\vec{0}\) .

\(\Leftrightarrow\)\(A = bar{ \{(B,-2) ; (C,-3) ; (D,4)}\}\).

Toute similitude directe conserve le barycentre.

D'où, \(A' = bar{\{ (B',-2) ; (C',-3) ; (D',4)\}}\).

Donc, \(-2\vec{A'B'}-3\vec{A'C'}+4\vec{A'D'}=\vec{0}\) .

\(\Leftrightarrow\)\(\vec{A'D'}-2\vec{A'B'}+3\vec{C'A'}+3\vec{A'D'}=\vec{0}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\vec{A'D'}-2\vec{A'B'}+3(\vec{C'A'}+\vec{A'D'})=\vec{0}\) .

\(\Leftrightarrow\)\(\vec{A'D'}-2\vec{A'B'}+3\vec{C'D'}=\vec{0}\) .

Par suite \(\vec{A'D'}=2\vec{A'B'}-3\vec{C'D'}\) .

Exercice 2

Soit \(S\) la similitude directe d’écriture complexe : \(z'=(1-i)z+2-i\).

1) Déterminer les éléments caractéristiques de \(S\).

2) Déterminer et construire l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que :

\(|(1-i)z+2-i|=4\)

3) Retrouver le résultat de la question précédente par une méthode algébrique.

Solution :

1) Déterminons les éléments caractéristiques de \(S\).

\(a=1-i∈C^*\setminus {\{1\}}\). Donc la \(SDP\) \(S\) a pour centre \(Ω\), d’affixe \(ω=\frac{2-i}{i}=-1-2i\)

Son rapport est \(|1-i|=\sqrt 2\) et son angle, \(arg⁡(1-i)=-\frac{\pi}{4} [2π]\).

2) Déterminons et construisons l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que :

\(|(1-i)z+2-i|=4\)

Méthode 1

\(|(1-i)z+2-i|=4⇔|z'|=4⇔M'∈C(O;4)\)

Or \(M=S^{-1} (M')\) par conséquent \(M∈S^{-1} [C(O;4)]\)

\(S^{-1}=SDP (Ω,\frac{\sqrt 2}{2},\frac{\pi}{4})\). Donc \(S^{-1}\) a pour écriture complexe \(z'+1+2i=\frac{\sqrt 2}{2} e^{i \frac{\pi}{4}} (z+1+2i)\)

Finalement l’écriture complexe de \(S^{-1}\) est : \(z'=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2} i)z-\frac{3}{2}-\frac{1}{2} i\)

Ainsi \(S^{-1} (O)=A(-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i)\) est le centre du cercle image par \(S^{-1}\) et le rayon du cercle image par \(S^{-1}\) est \(r=4\times \frac{\sqrt 2}{2}=2\sqrt 2\).

D’où \(M\) décrit le cercle de centre \(A(-\frac{3}{2} ;-\frac{1}{2})\) et de rayon \(2\sqrt 2\).

Méthode 2

On a : \(|(1-i)z+2-i|=4⇔|1-i|×|z+\frac{2-i}{1-i}|=4⇔|1-i|×|z-(-\frac{3}{2}-\frac{1}{2} i)|=4\)

\(⇔\sqrt 2×|z-(-\frac{3}{2}-\frac{1}{2} i)|=4⇔|z-(-\frac{3}{2}-\frac{1}{2} i)|=2\sqrt 2\)

Soit \(A\) d’affixe \(z_A=-\frac{3}{2}-\frac{1}{2} i\) donc on obtient \(|z-z_A |=2\sqrt 2⇔AM=2\sqrt 2\).

Par conséquent \(M\) décrit le cercle de centre \(A\) et de rayon \(2\sqrt 2\).

3) Retrouvons algébriquement le résultat précédent.

Posons \(z=x+iy\) :

\(|(1-i)z+2-i|=4⇔|(1-i)(x+iy)+2-i|=4⇔|x+y+2+i(-x+y-1)|=4\)

\(⇔(x+y+2)^2+(-x+y-1)^2=16\)

\(⇔x^2+y^2+4+2xy+4x+4y+x^2+y^2+1-2xy+2x-2y=16\)

\(⇔2x^2+2y^2+6x+2y+5=16\)

\(⇔x^2+y^2+3x+y=\frac{11}{2}\)

\(⇔(x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}+(y+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}=\frac{11}{2}\)

\(⇔(x+3/2)^2+(y+1/2)^2=11/2+5/2\)

\(⇔(x+\frac{3}{2})^2+(y+\frac{1}{2})^2=8\)

Donc \(M\) décrit le cercle de centre \(A(-\frac{3}{2};-\frac{1}{2})\) et de rayon \(2\sqrt 2\).

Propriété :

Etant donnés quatre points \(A,B,A’\) et \(B’\) tels que \(A ≠ B\) et \(A’ ≠ B’\), il existe une unique

similitude directe plane transformant \(A\) en \(A’\) et \(B\) en \(B’\).

Elle a pour rapport \(\frac{A’B’}{AB} et pour angle (\vec{AB} ; \vec{A'B'})\).

Preuve :

Soient \(A (z_A), B (z_B), A' (z_A' )\) et \(B' (z_B')\). Il suffit de prouver que le système : \(\begin{cases} z_A'=az_A+b \\ z_B'=az_B+b\end{cases}\)

d’inconnues \(a\) et \(b\) admet un couple unique de solution.

On a : \(\Delta=\left|\begin{array}z_A&1\\z_B&1 \end{array}\right|=z_A-z_B\neq 0\) car \(A\neq B\)

Le système admet ainsi un couple unique de solution \((a_0 ,b_0)\) et \(S ∶ z'= a_0 z + b_0\) est la similitude directe plane cherchée.