SUITES ARITHMETIQUES

Une suite \((U_n)_{n\geq p}\) est dite arithmétique s'il existe un réel constant \(r\) tel que \(\forall {n\geq p}\), \(U_{n+1}=U_n+r\).

Le réel constant \(r\) est appelé raison de la suite arithmétique et \(U_{p}\) est le premier terme de la suite.

Exemples :

Les suites \((U_n)_{n\in \mathbb{N}}\) et les suites \((V_n)_{n\in \mathbb{N}}\) telles que \(U_{n+1}-U_n=4\) ; \(V_{n+1}=V_n-\pi\) sont des suites arithmétiques.

Les suites \((U_n)_{n\in \mathbb{N}}\) ont pour raison \(4\) et les suites \((V_n)_{n\in \mathbb{N}}\) ont pour raison \(-\pi\).

Remarque :

Pour montrer que \((U_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est une suite arithmétique, on montre que la différence \(U_{n+1}-U_n\) est indépendante de \(n\). Le cas échéant cette différence est la raison de la suite.

Exercice d'application :

1. Montrer que la suite \((U_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définie par \(U_n=4n-1\) est arithmétique.

2. Préciser son premier terme et exprimer \(U_{n+1}\)  en fonction de \(U_{n}\).

Solution :

1. \((U_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est définie par \(U_n=4n-1\). On a : \(U_{n+1}=4(n+1)-1=4n+4-1=4n+3\) .

   \(U_{n+1}-U_n=4n+3-(4n-1)=4n+3-4n+1=4\). On obtient : \(\forall n\in \mathbb{N}, U_{n+1}-U_n=4\). Donc \((U_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est une suite arithmétique

2. Sa raison est \(4\) et son premier terme est \(U_0=-1\)

Propriétés

• Propriété (Formule explicite)

Soit \((U_n)_{n\geq p}\) une suite arithmétique de raison \(r\) et de premier terme \(U_{p}\).

Pour tout \(n\geq p\) , \(U_{n}=U_{p}+(n-p)r\)

Exemple :

Si \((U_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est une suite arithmétique de raison \(-2\) et tel que \(U_{5}=\frac{3}{4}\)

alors \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(U_n=U_{5}+(n-5)(-2)\).

Donc \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(U_n=\frac{3}{4}-2n+10\).

D'où \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(U_n=-2n+\frac{43}{4}\).

• Propriété (Somme de termes consécutifs)

Soit \((U_n)_{n\geq p}\) une suite arithmétique de premier terme \(U_{p}\).

Pour tout \(n\geq p\) , \(S=U_{p}+U_{p+1}+U_{p+2}+ \cdots +U_{n-1}+U_n=(n-p+1)\times \frac{U_p+U_n}{2}\)

Remarque :

• \((n-p+1)\) est le nombre de termes de la sommation.

• La somme ci-dessus est donc égale au produit du nombre de termes par la demi-somme des termes extrêmes.

• Si \(p=0\) alors \(S=U_{0}+U_{1}+U_{2}+ \cdots +U_{n-1}+U_n=(n+1)\times \frac{U_0+U_n}{2}\)

Exemple :

Calculons la somme des \(n\) premiers entiers naturels impairs.

Un entier naturel impair s'écrit \(2n+1\), \(n\in \mathbb N\).

Posons \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(U_n=2n+1\).

Le premier entier naturel impair est : \(U_0=1\) ;

Le deuxième entier naturel impair est : \(U_1=3\) ;

Le troisième entier naturel impair est : \(U_2=5\) ;

\(\vdots\)

Le nième entier naturel impair est : \(U_{n-1}=2n-1\).

Ainsi \(S=U_{0}+U_{1}+U_{2}+ \cdots +U_{n-1}=n\times \frac{1+2n-1}{2}=n\times \frac{2n}{2}=n^2\)

On trouve \(S=n^2\). (Ce résultat est obtenu lors de l'activité)

• Propriété (Sens de variations)

Soit \((U_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite arithmétique de raison \(r\).

On a \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(U_{n+1}-U_n=r\).

Par conséquent :

a) Si \(r>0\) alors la suite \((U_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est strictement croissante.

b) Si \(r<0\) alors la suite \((U_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est strictement décroissante.

c) Si \(r=0\) alors la suite \((U_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est constante ou stationnaire.