Introduction⚓
Les suites numériques sont des séquences ordonnées de nombres qui suivent un certain schéma ou une certaine règle. Elles ont été étudiées depuis l'Antiquité par des mathématiciens tels que Euclide, Pythagore et Archimède.
Au Moyen Âge, les mathématiciens arabes comme Al-Khwarizmi et Al-Kindi ont également contribué à l'étude des suites numériques. Cependant, c'est au 17ème siècle que le mathématicien français Blaise Pascal a introduit les premières notions de suites numériques dans son ouvrage "Traité du triangle arithmétique".
Au 19ème siècle, le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss a développé des méthodes pour étudier les propriétés des suites numériques, notamment en introduisant la notion de convergence.
Cette notion a été approfondie par d'autres mathématiciens comme Bernhard Riemann et Karl Weierstrass.
Au 20ème siècle, les suites numériques ont continué à être étudiées en profondeur, notamment dans le domaine de l'analyse mathématique. Les mathématiciens ont développé des théories plus avancées sur la convergence, la divergence et les propriétés des suites numériques.
Aujourd'hui, les suites numériques sont largement utilisées dans de nombreux domaines des mathématiques, de la physique, de l'informatique et d'autres sciences. Elles jouent un rôle crucial dans la modélisation et la résolution de problèmes complexes.
La notion de suite est présente dès qu'apparaissent des procédés illimités de calcul. On en trouve, par exemple, chez Archimède, spécialiste des procédés illimités d'approximation (séries géométriques de raison 1/4) pour des calculs d'aires et de volumes, ou en Égypte vers 1700 av. J.-C. et plus récemment au Ier siècle apr. J.-C. dans le procédé d'extraction d'une racine carrée par la méthode de Héron d'Alexandrie.
Pour extraire la racine carrée de \(A\), choisir une expression arbitraire \(a\) et prendre la moyenne entre \(a\) et \(\frac{A}a\) et recommencer le processus précédent aussi loin que l’on veut.
En notation moderne, ce processus se traduit par la suite numérique (\(U_n\) ) définie par \(U_0=a\) et pour tout entier naturel \(n\), \(U_{n+1}=\frac12 (U_n+\frac{A}U_n )\).
Compétences exigibles⚓
Restituer la définition d'une suite géométrique
Montrer qu'une suite est géométrique
Déterminer la somme des p premiers termes d'une suite géométrique
Résoudre des problèmes en utilisant les suites géométriques.
Matériel⚓
Pour l'élève
Cahiers, calculatrice, stylos, crayon, gomme, matériel géométrique
Pour le professeur
Fiche pédagogique, craies, tableau, éponge, matériel géométrique, matériel multimédia
Rappel / prérequis⚓
Remarque:
Tu as besoin de revoir le cours sur calcul dans IR.
Tu as besoin de revoir le raisonnement par récurrence.
I-Activité⚓
Question⚓
Lors d'un cours de TP au labo de SVT des élèves de 1S2 apprennent que les salmonelles sont des bactéries qui se multiplient très vite.
Lorsque les conditions sont favorables, le nombre de bactéries peut se multiplier par 2 toutes les 10 min.
On suppose que nous sommes dans ces conditions et que le processus continue indéfiniment.
On note \(U_0\) le nombre initial de bactéries, \(U_1\) le nombre de bactéries au bout de 10 min, \(U_2\) le nombre de bactéries au bout de 20 min et ainsi de suite.
Compléter le tableau suivant :
Temps (min)
0
10
20
30
40
Nombres de Bactéries
\(U_0=\cdots\)
\(U_1=\cdots\)
\(U_2=\cdots\)
\(U_3=\cdots\)
\(U_4=\cdots\)
Compléter les égalités ci-dessous :
\(\frac{U_1}{U_0}=\cdots\) ; \(\frac{U_2}{U_1}=\cdots\) ; \(\frac{U_3}{U_2}=\cdots\) ; \(\frac{U_4}{U_3}=\cdots\) ;
Que constante-t-on ?
Laquelle de ces trois relations correspond à la suite étudiée ?
a) \(U_{n+1}={U_n}^2\) ; b) \(U_{n+1}=U_n+2\) ; c) \(U_{n+1}=2\times U_n\)
a) Exprimer \(U_2\) en fonction de \(U_0\) ; \(U_3\) en fonction de \(U_0\) ; et \(U_n\) en fonction de \(U_0\) .
b) Généralisation :
\((U_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est une suite telle que \(U_{n+1}=q\times U_n\) de premier terme \(U_0\) où \(q\) est un réel donné.
Exprimer \(U_2\) et \(U_3\) en fonction de \(U_0\) et de \(q\) puis conjecturer l'expression de \(U_n\) en fonction de \(U_0\) et de \(q\).
c) Démontrer cette conjecture.
Déterminer le nombre de bactéries au bout de :
a) 1 heure.
b) Comparer le nombre de bactéries \(S\) au bout de \(1\)heure au résultat de \(U_0 (\frac{1-q^7}{1-q})\).
Solution⚓
Complétons le tableau suivant :
Temps (min)
0
10
20
30
40
Nombres de Bactéries
\(U_0=1\)
\(U_1=2\)
\(U_2=4\)
\(U_3=8\)
\(U_4=16\)
Compléter les égalités :
\(\frac{U_1}{U_0}=2\) ;\(\frac{U_2}{U_1}=2\) ; \(\frac{U_3}{U_2}=2\) ; \(\frac{U_4}{U_3}=2\) ;
On constate que les rapports \(\frac{U_{k+1}}{U_k}\) sont constants et égaux à \(2\).
La relation de la suite étudiée correspond au c) \(U_{n+1}=2\times U_n\)?
(On dira que la suite \((U_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique de raison \(2\)) et de premier terme \(U_0=1\).
a) Exprimons \(U_2\) en fonction de \(U_0\) ; \(U_3\) en fonction de \(U_0\) puis conjecturer l'expression \(U_n\) en fonction de \(U_0\)
On a : \(U_2=2\times U_1=2(2\times U_0)\). D'où \(U_2=2^2U_0\)
\(U_3=2\times U_2=2(2^2U_0)\). D'où \(U_3=2^3U_0\)
Des relations 3c) et 4a) on peut conjecturer que \(U_n=2^n\times U_0\)
b) Généralisation :
On a : \(U_2=q\times U_1=q(q\times U_0)\). D'où \(U_2=q^2U_0\)
\(U_3=q\times U_2=q(q^2U_0)\). D'où \(U_3=q^3U_0\)
Des relations 3c) et 4a) on peut conjecturer que \(U_n=q^n\times U_0\)
c) Démontrons cette conjecture par récurrence que : \(\forall n\in\mathbb N, U_n=q^n\times U_0\).
Désignons par \((P_n)\) la propriété \(« U_n=q^n\times U_0 »\).
Initialisation : Pour \(n=0\), on obtient \(q^0\times U_0=1\times U_0=U_0\). Donc \((P_0)\) est vraie.
Hérédité : Supposons pour un \(n\) quelconque que \((P_n)\) est vraie (c-à-d \(U_n=q^n\times U_0)\) et montrons alors que \((P_{n+1})\) est vraie (c-à-d \(U_{n+1}=q^{n+1}\times U_0\).
On a : \(U_{n+1}=q\times \textcolor{red}{U_n}\) donc d'après l'hypothèse de récurrence,
\(U_{n+1}=q\times\textcolor{red} {q^{n}\times U_0} \Longrightarrow U_{n+1}=q^{n+1}\times U_0\). Donc la propriété est héréditaire.
D'où \(\forall n\in\mathbb N, U_n=q^n\times U_0\).
Déterminons le nombre de bactéries \(S\) au bout de :
a) 1 heure.
On a : \(S=U_0+U_1+ U_2+ U_3+ U_4+ U_5+ U_6=1+2+4+8+16+32+64=127\)
b) Comparons le nombre de bactéries \(S\) au bout de \(1\)heure au résultat de \(U_0 (\frac{1-2^7}{1-2})\).
On a \(U_0 (\frac{1-2^7}{1-2})=1\times (\frac{1-2^7}{-1}) =\frac{1-128}{-1} =127\).
D'où \(S=U_0+U_1+ U_2+ U_3+ U_4+ U_5+ U_6=U_0 (\frac{1-q^7}{1-q})\)
II-Institutionnalisation⚓
II.1- Trace écrite⚓
Définition : Suite géométrique
Une suite \((U_n)_{n\geq p}\) est dite géométrique s'il existe un réel constant \(q\) tel que \(\forall {n\geq p}\), \(U_{n+1}=q\times U_n\).
Le réel constant \(q\) est appelé raison de la suite géométrique et \(U_{p}\) est le premier terme de la suite.
Exemples :
Les suites \((U_n)_{n\in \mathbb{N}}\) et \((V_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définies respevtivement par : \(U_{n+1}=4\times U_n\) et \(U_{0}=3\) ; \(V_n=2^n\) sont des suites géométriques.
\((U_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est de raison \(4\) et de premier terme \(U_{0}=3\)
et \((V_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est de raison \(2\) et de premier terme \(V_{0}=1\) .
Remarque :
Pour montrer que \((U_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique, on peut montrer que le quotient \(\frac{U_{n+1}}{U_n}\) est indépendant de \(n\). Le cas échéant cet quotient est la raison de la suite.
Exercice d'application :
Montrer que la suite \((U_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définie par \(U_n=5\times \pi^n \)est géométrique.
Préciser son premier terme et sa raison et exprimer \(U_{n+1}\) en fonction de \(U_{n}\).
Solution
Montrons que la suite \((U_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définie par \(U_n=5\times \pi^n \)est géométrique.
Calculons \(\frac{U_{n+1}}{U_n}\)
\(\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{5\times \pi^{n+1}}{5\times \pi^n}=\pi\)
Donc \((U_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique.
Précisons son premier terme et sa raison et exprimer \(U_{n+1}\) en fonction de \(U_{n}\).
Sa raison est \(q=\pi\) et son premier terme \(U_0=5\).
On a ainsi : \(U_{n+1}=\pi \times U_n\)
Propriétés
Propriété (Formule explicite)
Soit \((U_n)_{n\geq p}\) une suite géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(U_{p}\).
Pour tout \(n\geq p\) , \(U_{n}=U_{p}\times q^{n-p}\)
Exemple :
Si \((U_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique de raison \(-2\) et tel que \(U_{5}=\frac{3}{4}\)
alors \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(U_n=U_{5}\times (-2)^{n-5}\).
Donc \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(U_n=\frac{3}{4}\times(-2)^{n-5}=3\times(-2)^{n-7}\).
Propriété (Somme de termes consécutifs)
Soit \((U_n)_{n\geq p}\) une suite géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(U_{p}\).
Pour tout \(n\geq p\) , on a :
\(S=U_{p}+U_{p+1}+ \cdots +U_{n-1}+U_n=\begin{cases} (n-p+1)\times U_p \hspace {0.4cm}\text {si} \hspace {0.4cm} q=1 \\ U_p \times(\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}) \hspace {0.8cm}\text {si} \hspace {0.4cm} q\neq1 \end{cases}\)
Remarques :
\(U_p \times(\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q})=\frac{U_p - U_{}n+1}{1-q}\)
\((n-p+1)\) est le nombre de termes de la sommation.
La somme ci-dessus est donc égale au premier terme écrit moins le premier non écrit sur \(1\) moins la raison.
Si \(p=0\) alors \(S=U_{0}+U_{1}+U_{2}+ \cdots +U_{n-1}+U_n=U_0\times (\frac{1-q^{n+1}}{1-q})\)
Exemple :
Calculons la somme des \(n\) premières puissances entières de \(a\) avec \(a\) un réel strictement positif.
Une puissance entière de \(a\) s'écrit \(a^n\) avec \(n\in \mathbb N\).
Posons \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(U_n=a^n\).
La première puissance entière de \(a\) est : \(U_0=1\) ;
La deuxième puissance entière de \(a\) est : \(U_1=a\) ;
La troisième puissance entière de \(a\) est : \(U_2=a^2\) ;
\(\vdots\)
La nième puissance entière de \(a\) est : \(U_{n-1}=a^{n-1}\).
La suite \((U_n)\) ainsi définie est une suite géométrique de raison \(a\) et de premier terme \(U_0=1\)
Ainsi : \(S=U_{0}+U_{1}+U_{2}+ \cdots +U_{n-1}=n\times U_0 =n\) si \(a=1\)
et \(S=U_{0}+U_{1}+U_{2}+ \cdots +U_{n-1}=U_0\times (\frac{1-a^{n}}{1-a})\) si \(a \neq 1\)
Propriété (Sens de variations)
Soit \((V_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite géométrique de raison \(q>0\) et de premier terme \(V_0 \neq 0\). Alors pour tout entier naturel \(n\),
\(V_n=V_0\times q^n\) et \(V_{n+1}-V_n=V_0q^{n+1}-V_0q^n=V_0q^n (q-1)\).
Pour étudier le sens de variations d'une suite géométrique, il faut étudier le signe de \(V_{n+1}-V_n\) c'est-à-dire celui de \(V_0q^n (q-1)\). Or \(q>0\) donc ce signe dépend des signes de \(V_0\) et de \(q-1\). Nous distinguons donc deux cas : \(V_0>0\) et \(V_0<0\).
1ier cas : \(V_0>0\)
Propriété
Soit \((V_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite géométrique de raison \(q>0\) et de premier terme \(V_0 >0\).
La suite \((V_n)\) est strictement croissante si et seulement si, pour tout \(n\), \(q>1\)
La suite \((V_n)\) est strictement décroissante si et seulement si, pour tout \(n\), \(0<q<1\)
2ème cas : \(V_0<0\)
Propriété
Soit \((V_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite géométrique de raison \(q>0\) et de premier terme \(V_0 <0\).
La suite \((V_n)\) est strictement croissante si et seulement si, pour tout \(n\), \(0<q<1\)
La suite \((V_n)\) est strictement décroissante si et seulement si, pour tout \(n\), \(q>1\)
Si \(q=1\) alors la suite est constante.
II.2- TESTS⚓
Exercice n°1 :
Question⚓
\((Un)_{n\geq 1}\) est une suite géométrique de raison \(q\).
Dans chacun des cas suivants, calculer \(U_3\) et \(U_n\).
\(U_1 = -4 ; q= 3 ; n = 10\)
\(U_1 = 5 ; q= -1 ; n = 26\)
\(U_1 = 4; q=\frac{1}{2} ; n = 7\)
Solution⚓
Données \(U_1 = -4 ; q= 3 ; n = 10\)
\(U_3 = U_1\times q^2 \Rightarrow U_3 = -36\)
\(U_{10} = U_1\times q^9 \Rightarrow U_{10} =-78739\)
Données \(U_1 = 5 ; q= -1 ; n = 26\)
\(U_3 = U_1\times q^2 \Rightarrow U_3 = 5\)
\(U_{26} = U_1\times q^{25} \Rightarrow U_{26} =-5\)
Données \(U_1 = 4; q=\frac{1}{2} ; n = 7\)
\(U_3 = U_1\times q^2 \Rightarrow U_3 = 1\)
\(U_{7} = U_1\times q^6 \Rightarrow U_7 =\frac{1}{16}\)
Exercice n°2 :
Question⚓
Une suite géométrique \((Un)_{n\geq 1}\) est telle que \(U_3=-2\) et \(U_6=4\sqrt 2\). Calculer \(q\) et \(U_1\).
Exercice n°3 :
Question⚓
Les suites \(U\) et \(V\) définies ci-dessous sont-elles géométriques ?
a) \(\forall n\in \mathbb N, U_n=\frac{3}{2^n}\)
b) \(\forall n\in \mathbb N, V_n=n !\)
Solution⚓
a) \(\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{\frac{3}{2^{n+1}}}{\frac{3}{2^n}}=\frac{3}{2^{n+1}} \times \frac{2^n}{3}=\frac{2^n}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{1}{2}\) est indépendant de \(n\).
Donc \(U\) est une suite géométrique de raison \(q=\frac{1}{2}\) et de premier terme \(U_0=3\)
b) \(\frac{V_{n+1}}{V_n}=\frac{(n+1) !}{n !}=\frac{(n+1) n!}{n !}=n+1\).
\(n+1\) dépend de \(n\). Donc la suite \(V\) n'est pas géométrique.
Exercice n°4 :
Question⚓
En \(2011\), la population d'une commune d'un pays était de \(400.000\) habitants. Celle-ci augmente régulièrement de \(5\)% par an.
On désigne par \(U_1\) le nombre d'habitant en \(2011\) et par \(U_n\) le nombres d'habitant de la commune en \(2010+n\).
1) Calculer \(U_2\) , \(U_3\) et \(U_4\).
2) a) Exprimer \(U_{n+1}\) en fonction de \(U_n\).
b) En déduire la nature de la suite \((U_n)\).
3) Si l'évolution est maintenue, quelle sera la population en \(2026\) ? Donner le résultat à une unité près par défaut.
4) En quelle année celle-ci dépassera pour la première fois \(1.010.780\) habitants ? On peut utiliser la calculatrice.
Solution⚓
1) Calcul de \(U_2\) , \(U_3\) et \(U_4\).
\(U_2=U_1+0,05\times U_1=U_1\times 1,05=420.000\)
\(U_3=U_2+0,05\times U_2=U_2\times 1,05=441.000\)
\(U_4=U_3+0,05\times U_3=U_3\times 1,05=463.050\)
2) a) Exprimons \(U_{n+1}\) en fonction de \(U_n\).
\(U_{n+1}=U_n+0,05\times U_n=U_n\times 1,05\)
b) Nous avons la relation \(U_{n+1}=U_n\times 1,05\)
On en déduit que \(U_n\) est une suite géométrique de raison \(1,05\)
3) La population en \(2026=2010+16\) correspond à \(U_{16}\)
\(U_{16}=U_1\times {(1,05)}^{15} \Leftrightarrow U_{16}=831.571\)
En \(2026\) la population sera de \(831.571\) habitants.
4) Déterminons l'année à la quelle celle-ci dépassera pour la première fois \(1.010.780\) habitants.
Il suffit de trouver le rang \(n\) pour le quel \(U_n>1.010.780\).
A l'aide de la calculatrice, on obtient :
\(U_{19}=962.647,693\)
\(U_{20}=1.010.780, 078\)
La population dépassera pour la première fois les \(1.010.780\) en \(2010+20\). Soit en \(2030\)