COMPETENCES EXIGIBLES⚓
Démontrer qu'une suite donnée est arithmétique ou géométrique.
Utiliser les formules \(u_n=u_p+(n-p)r , u_n=u_pq^{n-p}\) pour calculer un terme ou la raison d'une suite arithmétique ou géométrique.
MATERIEL⚓
Ordinateur ou smartphone
RAPPEL DES PREREQUIS⚓
Généralités sur les suites
Calcul sur les puissances
ACTIVITE⚓
Enoncé⚓
Amina vient de signer son contrat de travail, elle commencera à travailler le 01/07/2024 à partir de 08 h. Elle prévoit en conséquence l’acquisition d’une première voiture. Ses parents proposent de compléter le financement de cet achat à condition qu’elle apporte au moins 350000F. Le 30/06/2024, Amina disposera de 20000F d’économie. Elle décide alors d’épargner à compter du mois de juillet, une partie de son salaire le dernier jour de chaque mois. Elle hésite entre deux stratégies.
Première stratégie: elle économise 50000F chaque mois.
Deuxième stratégie: elle augmente chaque mois le montant de son dépôt de 5%.
En t’appuyant sur les informations fournies dans le texte et sur les outils mathématiques au programme, aide Amina à dégager la meilleure stratégie, c'est-à-dire celle qui lui permettra d’économiser le maximum possible pour pouvoir acheter sa nouvelle voiture le 01/07/2034, jour de ses 35ans.
Analyse des données⚓
Les données utiles sont identifiées :
Les données sont bien analysées
Le montant initial
L’évolution du montant suivant la stratégie
Le moment du premier versement
Le moment du dernier versement
Des outils mathématiques en rapport avec le contexte sont identifiés :
Les suites numériques
Suites géométriques
Suites arithmétiques
Les raisons sont bien identifiées
Le premier terme est donné
Le calcul du terme de rang \(n\)
Solution⚓
Elle a le choix entre deux stratégies.
La première fait appel aux suites arithmétiques.
Notons \((U_n)\) la suite arithmétique de premier terme \(U_0=20000\) et de raison \(r=50000\) alors \(U_n\) désigne le montant dont dispose Amina à la fin du mois de Juillet \(2024 + n\) mois. Le 01/07/2034,Amina aura épargné pendant \(10 \times 12 = 120\) mois. La somme dont elle disposera est égale à \(U_{120} = U_0+120r=20000+120 \times 50000\). Elle disposera de \(6 020 000F.\)
La deuxième fait appel aux suites géométriques. Notons \((V_n)\) la suite géométrique de premier terme \(V_0\) et de raison \(q\) alors \(V_n\) désigne le montant dont dispose Amina à la fin du mois de Juillet \(2024 + n\) mois. Le 01/07/2031, Amina aura épargné pendant \(120\) mois. La somme dont elle disposera est égale à \(V_{120}=V_0 \times q^{120}=20000 \times 1,05^{120}\) . Elle disposera de \(6 978 240F\).
La deuxième stratégie est donc meilleure, elle lui permettra d’avoir \(958 240F \)de plus.
Nota Bene :
Les données : 08 h - 350000F - 35 ans sont des parasites. Elles sont inutiles.