COMPETENCES EXIGIBLES⚓
Démontrer qu'une suite est convergente
MATERIEL⚓
Ordinateur ou Smartphone
RAPPEL DES PREREQUIS⚓
Suites récurrentes
Suites géométriques
Logarithme népérien
ACTIVITE⚓
Enoncé⚓
Un volume constant de \(2200 m^3\) d'eau est réparti entre deux bassins \(A\) et \(B\).
Le bassin \(A\) refroidit une machine.
Pour des raisons d'équilibre thermique, on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de pompes.
On modélise les échanges entre les deux bassins de la manière suivante :
au départ le bassin \(A\) contient \(800 m^3\) d'eau et le bassin \(B\) contient \(1400 m^3\) d'eau
tous les jours, \(15\%\) du volume d'eau présent dans le bassin \(B\) au début de la journée est transféré vers le bassin \(A\)
tous les jours, \(10\%\) du volume d'eau présent dans le bassin \(A\) au début de la journée est transféré vers le bassin \(B\)
Pour tout entier naturel \(n\), on note :
\(a_n\) le volume d'eau, exprimé en \(m^3\), contenu dans le bassin \(A\) à la fin du \(n^{ième}\) jour de fonctionnement
\(b_n\) le volume d'eau, exprimé en \(m^3\), contenu dans le bassin \(B\) à la fin du \(n^{ième}\) jour de fonctionnement
On a donc \(a_0=800\) et \(b_0=1400\).
Par quelle relation entre \(a_n\) et \(b_n\) traduit-on la conservation du volume total d'eau du circuit ?
Justifier que, pour tout entier naturel \(n\), \(a_{n+1}=\cfrac 34 a_n+330\).
Pour tout entier naturel \(n\), on note \(u_n=a_n-1320\).
Montrer que \((u_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(a_n =1320-520 \times {(\cfrac 34)}^n\).
Etudier la convergence de la suite \((u_n)\).
Déterminer, sous ces conditions, le volume d'eau maximal que pourrait contenir le bassin \(A\).
Déterminer \(n\) pour que les deux bassins aient la même quantité d'eau à deux mètres cubes prés.
Solution⚓
Un volume constant de \(2200 m^3\) d'eau est réparti entre deux bassins \(A\) et \(B\).
Pour qu'il y ait conservation du volume total d'eau du circuit, il faut que \(a_n+b_n=2200\)
\(a_n\) est le volume d'eau, exprimé en \(m^3\), contenu dans le bassin \(A\) à la fin du \(n^{ième}\) jour de fonctionnement.
\(b_n\) est le volume d'eau, exprimé en \(m^3\), contenu dans le bassin \(B\) à la fin du \(n^{ième}\) jour de fonctionnement.
\(a_{n+1}\) est le volume d'eau, exprimé en \(m^3\), contenu dans le bassin \(A\) à la fin du \({n+1}^{ième}\) jour de fonctionnement.
Comme tous les jours, \(15\%\) du volume d'eau présent dans le bassin \(B\) au début de la journée est transféré vers le bassin \(A\) et \(10\%\) du volume d'eau présent dans le bassin \(A\) au début de la journée est transféré vers le bassin \(B\), on obtient alors
\(a_{n+1}=a_n-\frac {10}{100}a_n+\frac {15}{100}b_n\) de plus \(a_n+b_n=2200\) par conséquent \(a_{n+1}=a_n-\frac {15}{100}a_n+\frac {10}{100}(-a_n+2200)\)
\(a_{n+1}=a_n-\frac {10}{100}a_n-\frac {15}{100}a_n+\frac {15}{100}\times 2200\)
\(a_{n+1}=a_n(1-\frac {10}{100}-\frac {15}{100})+330\)
\(a_{n+1}=\frac 34 a_n+330\).
Pour tout entier naturel \(n\), on note \(u_n=a_n-1320\).
1.Montrons que la suite \((u_n)\) est géométrique.
On a \(u_{n+1}=a_{n+1}-1320\) or \(a_{n+1}=\frac 34 a_n+330\) donc \(u_{n+1}=\frac 34 a_n-990= \frac 34(a_n-1320)\).
Par suite \(u_{n+1}=\frac 34 u_n\). La suite \((u_n)\) est alors géométrique de raison \(q=\frac 34\) et de premier terme \(u_0=a_0-1320=-520\).
2. \(u_n=u_0 \times q^n\) d'où \(u_n=-520 \times {(\frac 34)}^n\).
3.On sait que \(u_n=a_n-1320\) c'est-à-dire que \(a_n=u_n+1320\), mieux \(a_n=1320-520 \times {(\frac 34)}^n\).
4.Comme \(\lim_{n\to+\infty}{(\frac 34)}^n=0\) alors \(\lim_{n\to+\infty}{u_n}=0\) par suite \(\lim_{n\to+\infty}{a_n}=1320\) donc \((a_n)\) converge vers \(1320\).
5. Comme la suite \((a_n)\) est à termes positifs et \(a_n=1320-520 \times {(\frac 34)}^n\) alors le volume d'eau maximal que peut contenir le bassIn \(A\) est de \(1320 m^3\).
6.Pour que les deux bassins aient la même contenance à deux mètres cubes prés, il faut et il suffit que \(1099 \le {a_n} \le 1101\).
Déterminons \(n\) pour que : \(1099 \le {a_n} \le 1101\) c'est-à-dire \(1099 \le 1320-520 \times {(\frac 34)}^n \le 1101\)
ce qui équivaut à : \(1099-1320 \le -520 \times {(\frac 34)}^n \le 1101-1320\)
ce qui équivaut à : \(\frac{219}{520}\le {(\frac 34)}^n \le \frac {221}{520}\)
ce qui équivaut à : \(\ln(\frac{219}{520})\le n\ln{(\frac 34)} \le\ln(\frac{221}{520})\)
ce qui équivaut à : \(\frac {\ln(\frac{221}{520})}{\ln{(\frac 34)}}\le n\le\frac {\ln(\frac{219}{520})}{\ln{(\frac 34)}}\)
donc \(2,98 \le n \le 3,01\) par conséquent \(n=3\).