SPOT-5 (Satellite pour l’Observation de la Terre). Crédit image : CNES
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Introduction⚓
L'orbite terrestre basse (OTB), également connue sous le nom de LEO (pour low earth orbit en anglais), est une région de l'orbite terrestre située entre l'atmosphère et la ceinture de Van Allen, s'étendant jusqu'à 2 000 kilomètres d'altitude. Dans cette zone, des satellites de télédétection, des satellites de télécommunications et même quelques stations spatiales, comme la Station spatiale internationale, orbitent autour de la Terre.
Voici quelques points clés concernant l'orbite terrestre basse :
1. Utilisation : Les orbites basses offrent plusieurs avantages. Elles permettent aux satellites de bénéficier d'un bilan de liaison avantageux en télécommunications et de capturer des images haute résolution grâce à des instruments d'observation. De plus, les lanceurs nécessitent moins d'énergie pour placer des objets en orbite basse par rapport à d'autres orbites terrestres. Les orbites basses sont également idéales pour la télédétection et les orbites héliosynchrones.
2. Traînée atmosphérique : Les objets en orbite basse rencontrent une traînée atmosphérique dans la thermosphère (80 à 500 km d'altitude) ou l'exosphère (500 km et plus d'altitude). Cette traînée dépend de la hauteur. Pour minimiser les effets de la traînée atmosphérique, l'altitude utilisée pour la mise en orbite d'objets est généralement supérieure à 300 km.
3. Débris spatiaux: L'orbite terrestre basse, tout comme l'orbite géostationnaire, suscite une attention particulière en raison de la prolifération des débris spatiaux. Les satellites en orbite basse sont exposés à ces risques.
4. Satellites en orbite basse : Les satellites de télédétection en orbite basse incluent des satellites météorologiques, des satellites d'imagerie terrestre tels que SPOT et des satellites de renseignement comme Helios.
En résumé, l'orbite terrestre basse est un espace vital pour de nombreux satellites qui nous fournissent des données essentielles et des services de communication depuis l'espace.
Source :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Orbite_terrestre_basse
https://www.wikiwand.com/fr/Orbite_terrestre_basse
https://www.esa.int/SPECIALS/Eduspace_FR/SEMS84S7NWF_0.html
https://www.basecampconnect.com/fr/systemes-satellitaires-leo/
Compétences exigibles⚓
Utiliser les formules d’addition et de duplication.
Matériel⚓
Pour l'élève
Cahiers, calculatrice, stylos, crayon, gomme, matériel géométrique
Pour le professeur
Fiche pédagogique, craies, tableau, éponge, matériel géométrique
Rappel / prérequis⚓
Connaitre les relations métriques dans un triangle rectangle et les formules d'addition et de duplication.
Activité⚓
Enoncé de l'activité
Question⚓
Un satellite en orbite basse S, se trouvant à une distance SH=h de la terre , repère deux points A et B de la terre distants de d km et obtient les mesures des angles \(\alpha\) et \(\beta\). Les points \(A,B\) et \(H\) sont supposés alignés.
Le schéma est modélisé par la figure suivante.
On note \(x\) la distance, en \(Km\) entre les points \(B\) et \(H\).
En utilisant le triangle BHS, exprimer \(\tan (\beta)\) en fonction de \(x\) et\( h\).
En déduire\( x\) en fonction de \(h\).
En utilisant le triangle \(AH\)S, exprimer \(\tan (\alpha)\) en fonction de \(x\) , \(d\) et \(h\).
Déduire des questions précédentes l'égalité \(h=d\times\frac{\tan (\beta)\times\tan (\alpha)}{\tan (\beta)-\tan (\alpha)}\).
Le théodolite (matériel de topographe) donne la formule suivante \(h=d\times\frac{\sin (\beta)\times\sin (\alpha)}{\sin (\beta-\alpha)}\) où \(h\) est la hauteur cherchée en \(km\) et \(d\) la distance en \(km\) entre les deux points \(A\) et \(B\) repérés. Montrer que les deux formules sont équivalentes.
Calculer l'altitude \(h\) du satellite \(S\) lorsque \(d=355km, \alpha=\frac{\pi}{9}\) et \(\beta = \frac{\pi}{6}\)
Les élèves doivent maitriser les formules d'addition et de duplication.
La trigonométrie sur le triangle rectangle.
Les élèves ont utilisé la même figure ce qui devrait les amener tous au même résultat.
Solution⚓
On note a \(BH=x\) .
En utilisant le triangle rectangle \(BHS\), on obtient \(\tan (\beta)=\frac{h}{x}\).
D'où \(x=\frac{h}{\tan (\beta)}\) .
En utilisant le triangle \(AHS\), on a \(\tan (\alpha)=\frac{h}{x+d}\).
D'où \(x+d=\frac{h}{\tan (\alpha)}\) C'est-à-dire \(x=\frac{h}{\tan (\alpha)}-d\).
En comparant les valeurs de \(x\) dans 1) et 2) on obtient : \(\frac{h}{\tan (\alpha)}-d=\frac{h}{\tan (\beta)}\). Donc \(\frac{h}{\tan (\alpha)}-\frac{h}{\tan (\beta)}=d\).
D'où \(h=d\times\frac{\tan (\beta)\times\tan (\alpha)}{\tan (\beta)-\tan (\alpha)}\).
Le théodolite (matériel de topographe) donne la formule suivante \(h=d\times\frac{\sin (\beta)\times\sin (\alpha)}{\sin (\beta-\alpha)}\) où \(h\) est la hauteur cherchée en \(km\) et \(d\) la distance en \(km\) entre les deux points \(A\) et \(B\) repérés. Montrer que les deux formules sont équivalentes revient à montrer que \(\frac{\sin (\beta)\times\sin (\alpha)}{\sin (\beta-\alpha)}=\frac{\tan (\beta)\times\tan (\alpha)}{\tan (\beta)-\tan (\alpha)}\).
On a : \(\frac{\sin (\beta)\times\sin (\alpha)}{\sin (\beta-\alpha)}=\frac{\sin (\beta)\times\sin (\alpha)}{\sin \beta \cos \alpha -\sin \alpha \cos \beta}\).
En divisant le numérateur et le dénominateur par \(\cos \alpha \cos \beta\) et en simplifiant, on retrouve \(\frac{\tan (\beta)\times\tan (\alpha)}{\tan (\beta)-\tan (\alpha)}\)
Si \(d=355\)km, \(\alpha=\frac{\pi}{9}\) et \(\beta = \frac{\pi}{6}\) alors
\(h=355\times\frac{\tan (\frac{\pi}{6})\times\tan (\frac{\pi}{9})}{\tan (\frac{\pi}{6})-\tan (\frac{\pi}{9})}\approx 350\)km.
TESTS⚓
Test 1⚓
Test 2⚓
TEST 3⚓
Question⚓
Calculer les valeurs exactes de \(\cos(\frac{7\pi}{3})\), \(\sin(-\frac{18\pi}{4})\), \(\cos(\frac{-11\pi}{6})\) et \(\tan(\frac{\pi}{12})\)
Solution⚓
\(\cos(\frac{7\pi}{3})=\cos(\frac{6\pi}{3}+\frac{\pi}{3})=\cos(2\pi+\frac{\pi}{3})=\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}\),
\(\sin(-\frac{18\pi}{4})=\sin(-\frac{16\pi}{4}-\frac{2\pi}{4})=\sin(-4\pi-\frac{\pi}{2})=\sin(-\frac{\pi}{2})=-\sin(\frac{\pi}{2})=-1\),
\(\cos(\frac{-11\pi}{6})=\cos(\frac{-12\pi}{6}+\frac{\pi}{6})=\cos(-2\pi+\frac{\pi}{6})=\cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt3}{2}\)
\(\tan(\frac{\pi}{12})=\tan(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan(\frac{\pi}{3})-\tan(\frac{\pi}{4})}{1+\tan(\frac{\pi}{3})\tan(\frac{\pi}{4})}\)
\(=\frac{\sqrt3-1}{1+\sqrt3\times 1}=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}=\frac{(\sqrt3-1)(\sqrt3-1)}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}=\frac{3-2\sqrt3+1}{2}\)
\(=\frac{4-2\sqrt3}{2}=2-\sqrt3\)
TEST 4⚓
Question⚓
Exprimer en fonction de \(\cos(x)\) ou de \(sin(x)\) les réels suivants
\(A=\cos(\frac{5\pi}{2}-x)\)
\(B=\sin(x+100\pi)\)
\(C=\cos(\frac{2024\pi}{2}+x)\)
\(D=\cos(\frac{\pi}{2}-x)+4\sin(-x-\frac{\pi}{2})-5\sin(\pi+x)\)
Solution⚓
\(A=\cos(\frac{5\pi}{2}-x)=\cos(\frac{4\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-x)=\cos(2\pi+\frac{\pi}{2}-x)+\cos(\frac{\pi}{2}-x)=\sin(x)\)
\(B=\sin(x+100\pi)=\sin(x+2\times 50\pi)=\sin(x)=\)
\(C=\cos(\frac{2024\pi}{2}+x)=\cos(1012\pi+x)=\cos(2\times 506\pi+x)=\cos(x)\)
\(D=\cos(\frac{\pi}{2}-x)+4\sin(-x-\frac{\pi}{2})-5\sin(\pi+x)=\sin(x)-4\sin(x+\frac{\pi}{2})-5(-\sin(x))=\sin(x)-4\cos(-x)+5\sin(x)\)
Donc \(D=\sin(x)-4\cos(-x)+5\sin(x)=6\sin(x)-4\cos(x)\)