INTRODUCTION⚓
L'étude des équations à une inconnue permet de développer des compétences essentielles en résolution de problèmes Ce module porte sur les équations à une inconnue de types :
\(ax+b=0\)
\((ax+b)(cx+d)=0\)
\(\left| ax+b\right| =c\) ;\(\left| ax+b\right| =\left| cx+d\right|\)
\(ax^2 +b =c\)
\(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{c}\)
EQUATION DU TYPE ax+b=0⚓
\(a\) et \(b\) étant deux nombres réels tels que \(a\neq0\)
Si \(ax=b\) et alors \(x=\dfrac{b}{a}\)
Exemple :
Résous dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(2x=12\)
\(2x=12\) est équivalent à \(x=\dfrac{12}{2}\)
c'est à dire \(x=6\). L'ensemble des solutions est \(S=\left\{ 6\right\}\)
Exemple :
Résous dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(-3x+5=-2\)
\(-3x+5=-2\) est équivalent à \(-3x=-7\)
\(-x=\dfrac{-7}{-3}\)
c'est à dire \(x=\dfrac{7}{3}\). L'ensemble des solutions est
\(S=\left\{ \dfrac{7}{3}\right\}\)
Exercice
Teste toi
EQUATION DU TYPE produit nul (ax+b)(cx+d)=0⚓
Si un produit est égal à \(0\) alors l'un de ses facteurs est égal à \(0\).
Si \(A\times{B}=0\) alors \(A=0\) ou \(B=0\)
On a :
Si \((ax+b)(cx+d)=0\) alors \(ax+b=0\) ou \(cx+d=0\)
Exemple : Exemple
Résous dans \(\mathbb{R}\) l'équation \((2x+4)(x-7)=0\)
solution
\((2x+4)(x-7)=0\) signifie \(2x+4=0\) ou \(x-7=0\)
d'où \(x=-2\) ou \(x=7\)
L'ensemble des solutions de l'équations est \(S=\left\{ -2;7\right\}\)
Teste toi
EQUATION DU TYPE VALEUR ABSOLUE⚓
EQUATIONS DE TYPE Iax+bI=c⚓
\(\left| ax+b\right| =c\) où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des nombres réels avec \(a\) non nul et \(c\) positif est équivalent à \(ax +b =c\) ou \(ax+b=-c\)
Exemple :
Résous dans \(\mathbb{R}\)l'équation \(\left| 3x-1\right| =5\).
Résolution
\(\left| 3x-1\right| =5\) signifie \(3x-1=5\) ou \(3x-1=-5\)
c'est à dire \(3x=6\) ou \(3x=-4\)
d'où \(x=2\) ou \(x= \dfrac{-4}{3}\)
\(S=\left\{ 2;\dfrac{-4}{3}\right\}\)
Question⚓
Résoudre dans \(\mathbb{R}\);
\(\left|4-2g\right|-1=7\)
exercice 2
Question⚓
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(\left|3h-17\right|=-9\)
EQUATION DU TYPE Iax+bI=Icx+dI⚓
Deux nmbres rééls qui ont la même valeur absolue sont égaux ou opposés.
Si \(\left| ax+b\right| =\left|cx+d\right|\) alors \(ax+b=cx+d\) ou \(ax+b=-cx-d\)
Exemple :
Résous dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(\left| x+8\right| =\left|5x-9\right|\)
Résolution
\(\left| x+8\right| =\left|5x-9\right|\) signifie \(x+8 =5x-9\) ou \(x+8 =-5x+9\)
\(x+8 =5x-9\) ou \(x+8 =-5x+9\)
\(-4x=-17\) ou \(6x=1\)
\(x=\dfrac{17}{4}\) ou \(x=\dfrac{1}{6}\)
L'ensemble des solution est \(S=\left\{ \dfrac{17}{4};\dfrac{1}{6}\right\}\)
Question⚓
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(\left|-3r+1\right|=\left|r+5\right|\)
EQUATION DU TYPE ax²+b=0⚓
\(x\) étant un nombre réel et \(a\) un nombre réel positif.
Si \(x^{2}=a\) alors \(x=\sqrt{a}\) ou \(x=-\sqrt{a}\)
Nota Bene :
Si \(a\) est strictement négatif alors \(x^{2}=a\) est impossible dans \(\mathbb{R}\)
Exemple :
Résoudre dans l'ensemble \(\mathbb{R}\) l'équation
\(16t^{2}-25=0\) ?
Résolution :
\(16t^{2}-25=0\)
\(16t^{2}=25\)
\(t^{2}=\dfrac{25}{16}\)
\(t=\begin{aligned}\sqrt{\frac{25}{16}}\end{aligned}\) ou \(t=-\begin{aligned}\sqrt{\frac{25}{16}}\end{aligned}\) donc \(t=\dfrac{5}{4}\) ou \(t=-\dfrac{5}{4}\)
\(S=\left\{\dfrac{5}{4};-\dfrac{5}{4} \right\}\)
Attention :
On peut aussi factoriser avant de résoudre.
Reprenons l'exemple précèdent.
\(16t^{2}-25=0\) est equivalent à \((4t)^{2}-5^{2}=0\)
Ce qui donne \((4t+5)(4t-5)=0\) c'est à dire \(4t+5=0\) ou \(4t-5=0\)
d'où \(t=\dfrac{5}{4}\) ou \(t=-\dfrac{5}{4}\)
Teste toi
Equation de type a/x =b /c⚓
Rappel :
pour tous nombres reéls \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) tels que \(b\neq0\) et \(d\neq0\) on a: \({\dfrac{a}{b}}={\dfrac{c}{d}}\) signifie \(a\times{d}=b\times{c}\)
Exemple :
Sachant que \(t\neq0\), résous dans l'équation \(\dfrac{3}{t}=\dfrac{7}{4}\)
Solution
\(\dfrac{3}{t}=\dfrac{7}{4}\) est équivalente à \(t\times{7}=3\times{4}\) c'est à dire \(7t=12\) d'où \(t=\dfrac{12}{7}\)
Question⚓
Sachant que \(x\neq{-1}\) et \(x\neq{4}\), résous dans l'équation \(\dfrac{5}{x+1}=\dfrac{3}{4-x}\)