Introduction⚓
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Le chapitre sur la géométrie dans l'espace permet de consolider et d'approfondir les acquis des classes antérieures. Elle est utilisée en architecture, en astronomie, en chimie, en construction mécanique, en technologie...
Détermination d'un plan⚓
Définition :
Dans l'espace, un plan est défini par trois points non alignés.
Dans l'espace, un plan est défini par deux droites strictement parallèles.
Dans l'espace, un plan est défini par deux droites sécantes.
Dans l'espace, un plan est défini par une droite et un point n'appartenant pas à cette droite.
Exemple :
\(ABGH\) détermine un plan.
Les droites \((AC)\) et \((HC)\) déterminent un plan.
Positions relatives de deux droites dans l'espace⚓
Droites coplanaires et droites non coplanaires⚓
Définition :
Deux droites sont coplanaires lorsqu'elles sont contenues dans un même plan.
Deux droites sont non coplanaires lorsqu'il n'existe pas de plan les contenant.
Exemple :
On donne un prisme droit ci-contre.
Les droites \((AC)\) et \((AD)\) sont coplanaires.
Les droites \((AC)\) et \((DE)\) sont non coplanaires car aucun plan les contient.
Nota Bene :
Deux droites coplanaires sont soit parallèles soit sécantes.
Deux droites non coplanaires ne sont ni parallèles ni sécantes.
Exercice d'application
Question⚓
En considérant la figure ci-contre, recopie et complète les phrases suivantes par l'une des expressions : coplanaires, non coplanaires.
Les droites \((FB)\) et \((GC)\) sont...
Les droites \((BG)\) et \((EB)\) sont...
Les droites \((BG)\) et \((GC)\) sont...
Les droites \((HD)\) et \((EB)\) sont...
Les droites \((AD)\) et \((GC)\) sont...
Exemple :
Droites perpendiculaires, droites orthogonales⚓
Définition :
Deux droites sont perpendiculaires dans l'espace lorsqu'elles sont coplanaires et perpendiculaires dans le plan qu'elles définissent.
Deux droites sont orthogonales lorsque l'une d'elles est perpendiculaire à une autre droite parallèle à l'autre.
Deux droites perpendiculaires dans l'espace sont codées un parallélogramme.
Exemple :
On donne le pavé droit \(ABCDEFGH\) ci-contre
\((EA)\) est perpendiculaire à \((AB)\).
\((FB)\) est perpendiculaire à \((BC)\).
\((EA)\) est orthogonale à \((BC)\).
Nota Bene : Déductogramme
Exemple :
On donne le pavé droit ci-contre.
\((AE)\) et \((EF)\) sont perpendiculaire.
\((EF)\) et \((AB)\) sont parallèles, \((AB)\) et \((AD)\) sont perpendiculaires.
\((EF)\) et \((AD)\) sont orthogonales.
Exercice d'application
Question⚓
On donne la figure ci-contre, représentant un prisme droit \(ABCDEF\) tel que \(ABC\) est un triangle rectangle en \(B\).
Cite deux paires de droites orthogonales.
Cite deux droites perpendiculaires.
Positions relatives de droites et de plans⚓
Droite et plan parallèles⚓
Définition :
Pour qu'une droite soit parallèle à un plan , il suffit qu'elle soit parallèle à une droite du plan.
la droite \((D)\) est contenue dans le plan \((P)\)
La droite \((D')\) est strictement parallèle au plan \((P)\)
Attention :
Dans l'espace, 2 droites non sécantes ne sont pas forcément parallèles
Droite et plan perpendiculaires⚓
Définition :
Une droite est perpendiculaire à un plan lorsqu'elle est perpendiculaire à deux droites sécantes de ce plan.
Exemple :
On donne le pavé droit ci-contre.
La droite \((DA)\) est perpendiculaire au plan \((EAB)\).
La droite \((FB)\) est perpendiculaire au plan \((EFG)\).
Positions relatives de plans⚓
Plans parallèles⚓
Définition :
Deux plans sont parallèles lorsqu'ils sont perpendiculaires à une même droite.
Deux plans confondus sont des plans parallèles.
Nota Bene : Déductogramme
Exemple :
On donne le prisme droit ci-contre.
\((FC)\) est perpendiculaire à \((AC)\) et à \((CB)\) donc \((FC)\) est perpendiculaire au plan \((ABC)\).
\((FC)\) est perpendiculaire à \((FD)\) et à \((EF)\) donc \((FC)\) est perpendiculaire au plan \((DEF)\).
La droite \((FC)\) est perpendiculaire aux plans \((ABC)\) et \((DEF)\).
Donc les plans \((ABC)\) et \((DEF)\) sont parallèles.
Plans perpendiculaires⚓
Définition :
Deux plans sont perpendiculaires si l'un des plans contient une droite perpendiculaire à l'autre plan.
Un plan \((Q)\) est perpendiculaire à un plan \((P)\), si il existe une droite de \((Q)\) orthogonale à \((P)\).
Exemple :
On donne le pavé droit ci-contre.
Deux faces quelconques non parallèles sont perpendiculaires.
Complément :
Si \((P)\) et \((P')\) , deux plans sécants, sont perpendiculaires à un même plan \((Q)\) , alors leur intersection est orthogonale à \((Q)\) .
