Introduction⚓
L'élève va aborder les inéquations à deux inconnues. Il approfondira ses connaissances en étudiant , en plus des méthodes utilisant le calcul numérique, des méthodes d'interprétation graphique.
Inéquations du premier degré à deux inconnues⚓
Détermination de couples de réels solutions⚓
Définition :
\(a, b\) et \(c\) sont trois nombres réels avec \(a\) et \(b\) non simultanément nuls.
L'inéquation \(ax + by + c \leq0\) est une inéquation du premier degré à deux inconnues \(x\) et \(y\).
Tout couple de réels \((x_0 ; y_0)\) qui vérifie l'inégalité est une solution de l'inéquation.
Méthode :
On donne une inéquation du premier degré à deux inconnues du type : \(ax + by + c \leq0\).
Pour vérifier qu'un couple \((x_0 ; y_0)\) est solution ou non de cette inéquation :
je remplace \(x\) par \(x_0\) et \(y\) par \(y_0\) dans l'expression \(ax + by + c\).
Si l'expression \(ax + by + c\) donne un nombre négatif alors l'inégalité est vérifiée. On dit que le couple \((x_0 ; y_0)\) est solution de l'inéquation.
Si l'expression \(ax + by + c\) donne un nombre positif alors l'inégalité n'est pas vérifiée. On dit que le couple \((x_0 ; y_0)\) n'est pas solution de l'inéquation.
Exemple :
On donne l'inéquation \(5x + 2y -7 \geq0\).
Parmi les couples de réels suivants \((0 ; 2)\) et \((3 ; -1)\), lequel est solution de l'inéquation ?
Vérification pour le couple\( (0 ; 2).\)
Je remplace \(x\) par \(0\) et \(y\) par \(2\) dans l'expression \(5x + 2y -7\), on trouve \(-4\).
Or \(-4\) est négatif, donc l'inéquation n'est pas vérifiée.
Conclusion : le couple \((0 ; 2)\) n'est pas solution de l'inéquation.
Vérification pour le couple \((3 ; -1).\)
Je remplace \(x\) par \(3\) et \(y\) par \(-1\) dans l'expression \(5x + 2y -7\), on trouve \(6\).
Or \(6\) est positif, donc l'inéquation est vérifiée.
Conclusion : le couple \((3 ; -1)\) est solution de l'inéquation
Exercice
Question⚓
On considère l'inéquation \(-3x + 5y - 8\leq0\) et on donne les couples de réels suivants : \((7 ; 4)\), \((3 ; 5)\), \((0 ; 2)\) et \((-6 ; 3)\).
Parmi ces couples de réels, quels sont ceux qui sont solutions de l'inéquation ?
Résolution graphique d'une inéquation à deux inconnues⚓
Définition :
On considère l'inéquation à deux inconnues \(x\) et \(y\) du type \(ax + by + c \leq0\) où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels tels que \(a\) et \(b\) ne sont pas simultanément nuls.
Résoudre graphiquement cette inéquation consiste à déterminer le demi-plan de frontière la droite d'équation
\(ax + by + c = 0\) qui contient les points dont les coordonnées \((x; y)\) vérifient l'inéquation.
Méthode : Méthode de résolution graphique
On considère l'inéquation \(-2x + 5y - 10\leq0\).
Etape 1
Je trace la droite \((D)\) d'équation : \(-2x + 5y - 10= 0\) dans le repère.
Etape 2
Je nomme les demi plans obtenus \((P)\)
et \((P')\).
Etape 3
Je cherche les solutions de l'inéquation.
Je choisis un point n'appartenant pas à la droite \((D)\) : \(A(-1 ; 1)\) \(\in (P)\)
Je teste le couple \((-1 ; 1)\)
\(-2\times(-1) + 5\times1 -10= -3\) ; donc le couple \((-1 ; 1)\) vérifie l'inéquation.
Les couples de coordonnées des points de \((P)\) sont solutions.
Etape 4
Je colorie le demi-plan \((P)\) qui vérifie l'inéquation et je donne la solution.
L'ensemble des solutions est l'ensemble des couples de coordonnées des points de \((P)\) et de sa frontière \((D)\)
Nota Bene :
Pour l'inéquation \(-2x + 5y - 10 < 0\).
L'ensemble des solutions est l'ensemble des couples de coordonnées des points de \((P)\) et sans la frontière \((D)\).
Exemple :
Je résous graphiquement l'inéquation \(x - 2y + 3 > 0\)
Je trace dans un repère orthonormé la droite \((D)\) d'équation : \(x - 2y + 3 = 0\)
Je nomme les demi-plans \((P_1)\) et \((P_2)\).
Je choisis le point \(O(0 ; 0)\) qui n'appartient pas à la droite \((D)\) ; ses coordonnées donnent \(3\). Donc le le couple \((0 ; 0)\) vérifie l'inéquation.
L'ensemble des solutions est l'ensemble des couples de coordonnées des points de \((P_1)\) et sans la frontière \((D)\).
Je colorie le demi-plan \((P_2)\) qui n'est pas solution et la frontière \((D)\).
Attention :
Pour résoudre graphiquement une inéquation à deux inconnues, je peux bien hachurer ou colorier la partie qui n'est pas solution. Il suffit de bien préciser ce que représente la partie hachurée ou coloriée.
Système d'inéquations à deux inconnues⚓
Détermination de couples de réels solutions⚓
Définition :
On considère le système suivant : \(\begin{cases}ax+by+c\leq 0 (1) \\a'x+b'y+c'\leq 0 (2) \end{cases}\)
Un couple de réels \((x_0 ; y_0)\) est solution du système s'il est solution des inéquations \((1)\) et \((2).\)
Résoudre un système d'inéquations à deux inconnues, c'est trouver l'ensemble des couples de réels qui vérifient simultanément toutes les inéquations du système.
Exemple :
On considère le système d'inéquations suivant : \(\begin{cases}x+2y - 5\leq 0 (1) \\-2x + y+ 4\leq 0 (2) \end{cases}\)
je vérifie si les couples de réels \((0 ; -3)\) et \((5 ;-1)\) sont solutions du système d'inéquations.
Vérification avec \((0 ; -3)\).
\((1)\) \(x+2y - 5\leq 0\)
\((0 ; -3)\) : \(-11\leq0\), donc le couple vérifie l'inéquation \((1)\).
\((2)\) \(-2x+y + 4\leq 0\).
\((0 ; -3)\) : \(1\leq 0\) est faux.
\((0 ;-3)\) n'est pas solution du système.
Vérification avec \((5 ; -1)\).
\((1)\) \(x+2y -5\leq 0\)
\((5 ; -1)\) : \(-2\leq0\), donc le couple vérifie l'inéquation \((1)\).
\((2)\) \(-2x+y + 4\leq 0\).
\((5 ; -1)\) : \(-7\leq 0\) est vrai.
\(((5 ;-1)\) est solution du système.
Exercice
Question⚓
On considère le système suivant : \(\begin{cases} 3x+y - 2\leq 0 (1) \\ x - 2y+ 1\leq 0 (2) \end{cases}\).
Parmi les couples de réels suivants : \((1 ; -4)\), : \((0 ; 1)\), : \((3 ; 2)\), quels sont ceux qui sont solutions de ce système ?
Solution⚓
Vérification avec \((1 ; -4)\)
\((1)\) \(3x+y - 2\leq 0\)
\((1 ; -4)\) : \(- 3\leq0\), donc le couple vérifie l'inéquation \((1)\).
\((2)\) \(x -2y + 1\leq 0\).
\((1 ; -4)\) : \(10\leq 0\) est faux.
Conclusion : \((1 ;-4)\) n'est pas solution du système.
Vérification avec \((3 ; 2)\),
\((1)\) \(3x+y - 2\leq 0\)
\((3 ; 2)\) : \(9\leq0\), est faux donc le couple ne vérifie pas l'inéquation \((1)\).
\((2)\) \(x -2y + 1\leq 0\).
\((3 ; 2)\) : \(0\leq 0\) est vrai.
Conclusion : \((3 ;2)\) n'est pas solution du système.
Vérification avec \((0 ; 1)\),
\((1)\) \(3x+y - 2\leq 0\)
\((0 ; 1)\) : \(-1\leq0\), donc le couple vérifie l'inéquation \((1)\).
\((2)\) \(-x -2y + 1\leq 0\).
\((0 ; -3)\) : \(-1\leq 0\) est vrai.
Conclusion : \((0 ; 1)\) est solution du système.
Résolution graphique⚓
Définition :
résolution graphique du système : \(\begin{cases}ax+by+c\leq 0 (1) \\a'x+b'y+c'\leq 0 (2) \end{cases}\).
La résolution graphique du système d'inéquations consiste à déterminer l'intersection des solutions des inéquations \((1)\) et \((2)\).
Méthode :
Exemple :
Je résous graphiquement le système suivant : \(\begin{cases} x -2y +3 > 0 (1) \\ x - 2y+ 1\leq0 (2) \end{cases}\).
Je construis dans un même repère orthonormé les droites :
\((D)\) : \(x -2y + 3= 0\) et \((D')\) : \(x - 2y + 1 = 0\).
Je résous graphiquement chaque inéquation et pour chaque inéquation, j'hachure ou je colorie la partie qui n'est pas solution. La solution est alors la partie non hachurée ou non coloriée du graphique.
Conclusion : la solution est la partie commune aux demi-plans\( (P_1)\) et\( (P'),\) c'est-à-dire la bande blanche y comprise la frontière \((D')\).
Exercice
Question⚓
Résous le système suivant : \(\begin{cases} 2x -y +1 \leq0 (1) \\ x +y -2\leq0 (2) \end{cases}\).
Solution⚓
Je construis dans un même repère orthonormé les droites :
\((D)\) : \(2x -y + 1= 0\) et \((D')\) : \(x + y - 2= 0\).
Je résous graphiquement chaque inéquation et pour chaque inéquation, j'hachure ou je colorie la partie qui n'est pas solution. La solution est alors la partie non hachurée ou non coloriée du graphique.
Conclusion : la solution est la partie commune aux demi-plans\( (P_1)\) et\( (P'),\) c'est-à-dire la bande blanche y comprises les frontières \((D\) et \((D')\).
Exercice
Question⚓
Détermine un système d'inéquations dont l'ensemble de solutions correspond au demi-plan non hachuré de la figure ci-contre.
