INTRODUCTION⚓
Ce module se décline en plusieurs parties qui te permettront d’utiliser les nombres réels dans divers calculs impliquant l'addition, la soustraction, la multiplication et la division ainsi que les puissances. Un accent particuliers est mis sur les quotients et la valeur absolue.
CALCUL SUR LES QUOTIENTS⚓
Addition⚓
Pour calculer la somme (ou la différence) de deux quotients je les réduis au même dénominateur puis j’applique les règles suivantes:
\({\dfrac{a}{c}}+{\dfrac{b}{c}}=\dfrac{a+b}{c}\)
\({\dfrac{a}{c}}-{\dfrac{b}{c}}=\dfrac{a-b}{c}\) ; \(a\in \mathbb{Z}\) ;\(b\in \mathbb{Z}\) ; \(b\in \mathbb{Z}\) et \(c\neq0\).
Teste toi.
Multiplication⚓
Pour calculer le produit de deux quotients, je multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux
\({\dfrac{a}{b}}\times{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a\times{c}}{b\times{d}}\)
Rappel :
Inverse d’un nombre rationnel non nul
Si \(a\) et \(b\) sont deux nombres entiers relatifs non nuls alors les nombres \(\dfrac{a}{b}\) et \(\dfrac{b}{a}\) sont inverses l’un de l’autre
L’inverse d’un nombre rationnel \(a\) non nul est le nombre \(\dfrac{1}{a}\)
Question⚓
Calcule et rends irréductible le résultat.
\(D={\dfrac{-3}{8}}\times{\dfrac{7}{-6}\times{\dfrac{4}{-9}}}\)
Solution⚓
\(D={\dfrac{-3}{8}}\times{\dfrac{7}{-6}\times{\dfrac{4}{-9}}}=-\dfrac{3\times7\times4}{8\times6\times9}=-\dfrac{3\times7\times4}{4\times2\times3\times2\times9}=-\dfrac{7}{2\times2\times9}=-\dfrac{7}{36}\)
Autre méthode
\(D={\dfrac{-3}{8}}\times{\dfrac{7}{-6}\times{\dfrac{4}{-9}}}=-\dfrac{3\times7\times4}{8\times6\times9}=-\dfrac{84\div pgcd(84;432)}{432\div pgcd(84;432)}=-\dfrac{84\div12}{432\div12}=-\dfrac{7}{36}\)
Teste toi
Division⚓
Pour diviser un quotient par un autre non nul je multiplie le premier par l‘inverse du second
Si a, b, c et d sont des nombres réels tels que b, c et d soit non nuls alors
\({\dfrac{a}{b}}\div{\dfrac{d}{c}}=\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}={\dfrac{a}{b}}\times{\dfrac{d}{c}}\)
Exemple
\(\dfrac{\dfrac{5}{7}}{\dfrac{3}{2}}={\dfrac{5}{7}}\times{\dfrac{2}{3}}\)
\(=\dfrac{10}{21}\)
Question⚓
Effectue les calculs suivants :
\(A=\dfrac{\dfrac{8}{11}}{\dfrac{4}{9}}\) ;
2. \(B=\dfrac{\dfrac{-5}{3}}{12}\)
Teste toi.
Puissance d'un quotient.⚓
Pour élever un quotient à la puissance \(n\), on élève chacun de ses termes à la puissance \(n\).
\((\dfrac{a}{b})^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)
L’inverse du nombre \((\dfrac{a}{b})^{n}\) est noté \((\dfrac{a}{b})^{-n}\) et on a :
\((\dfrac{a}{b})^{-n}=(\dfrac{b}{a})^n\)
Exemple :
\((\dfrac{7}{6})^2=\dfrac{7^2}{6^2}\)
\(=\dfrac{49}{36}\)
\((\dfrac{2}{5})^{-3}=\dfrac{5^3}{2^3}\)
\(=\dfrac{125}{8}\)
Teste toi
Comparaison de deux nombre réels⚓
Egalité de deux nombres réels⚓
Condition d'égalité de deux quotients
pour tous nombres reéls \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) tels que \(b\neq0\) et \(d\neq0\)
\({\dfrac{a}{b}}={\dfrac{c}{d}}\) signifie \(a\times{d}=b\times{c}\)
Teste toi
Egalite et opérations
soient \(x\), \(y\) et \(c\) des nombres réels
Si \(x=y\) alors \(x+c=y+c\)
Inégalité de deux nombres réels⚓
Inégalité et addition ou soustraction
Si on ajoute ou retranche un même nombre rationnel aux deux membres d'une inégalité, on obtient une nouvelle inégalité de même sens.
\(x\), \(y\) et \(c\) étant trois nombres réels : Si \(x<y\) alors \(x+c<y+c\).
Inégalité et multiplication ou division
Si on multiplie divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre réel strictement positif, on obtient une nouvelle inégalité de même sens.
\(x\), \(y\) et \(c\) étant trois nombres réels tel que \(c>0\). Si \(x<y\) alors \(x\times{c}<y\times{c}\)
Si on multiplie ou divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre réel strictement négatif, on obtient une nouvelle inégalité de sens contraire.
\(x\), \(y\) et \(c\) étant trois nombres réels tel que \(c<0\). Si \(x<y\), alors \(x\times{c}>y\times{c}\).
Exemple :
Sachant que \(y\geq5\), compare \(2y\) et \(10\) ; -\(4y\) et \(-20\) puis \(2y-3\) et \(7\).
Comparons \(2y\) et \(10\)
\(y\geq5\)
\(2y\geq2\times{5}\)
\(2y\geq10\)
Comparons -\(4y\) et \(-20\)
\(y\geq5\)
\(-4\times y\leq{-4}\times5\)
d'où \(-4y\leq{-20}\)
Comparons \(2y-3\) et \(7\)
\(y\geq5\) donc \(2y\geq2\times 5\) d'où \(2y-3\geq2\times 5-3\) ce qui permet de dire \(2y-3\geq7\)
Valeur absolue⚓
Définition :
La valeur absolue d'un nombre rationnel est notée \(\left|a\right|\)
\(\left|a\right|=a\) si \(a\geq0\)
\(\left|a\right|=a\) si \(a\leq0\) inférieur ou égal
\(\left|a\right|=0\) si \(a=0\)
Nota Bene : Propriétés
Si \(\left|a\right|=\left|b\right|\) alors \(a=b\) ou \(a=-b\)
Si \(a=b\) ou \(a=-b\) alors \(\left|a\right|=\left|b\right|\)
Exemple :
\(3-\dfrac{2}{7}\) est positif donc \(\left|3-\dfrac{2}{7}\right|=3-\dfrac{2}{7}\)
Exemple :
Compare \(2\sqrt{5}\) et \(4\) puis écris sans le symbole de la valeur absolue \(\left|2\sqrt{5}-4\right|\)
On a :\((2\sqrt{5})^2=20\) et \(4^2 =16\).
\((2\sqrt{5})^2>4^2\) d'où \(2\sqrt{5}>4\) donc \(2\sqrt{5}-4>0\)
d'où \(\left|2\sqrt{5}-4\right|=2\sqrt{5}-4\)
Exemple :
Ecris sans le symbole de la valeur absolue \(\left|t-4\right|\).
\(t\geq0\) est équivalent à \(t\geq4\) c'est à dire \(t\in \mathbb[4;+\infty[\)
donc
\(\left|t-4\right|=t-4\) si \(t\in \mathbb[4;+\infty[\)
\(\left|t-4\right|=-t+4\) si \(t\in \mathbb]-\infty;4]\)
Teste toi.
Question⚓
Compare \(3\) et \(4\sqrt{3}\) puis écris sans le symbole de la valeur absolue \(\left|3-4\sqrt{3}\right|\)