Introduction⚓
La statistique a pour objectif d'amener les apprenants à interpréter les résultats obtenus. La finalité est de pousser l'apprenant à avoir une attitude critique devant les informations statistiques reçues dans la vie courante.
Exemples et vocabulaire⚓
Définition :
Une classe d'une série statistique est un intervalle fermé à gauche et ouvert à droite du type \([a, b[\).
\(a\) est la borne inférieure de la classe ;
\(b\) est la borne supérieure de la classe.
L'amplitude de la classe \([a, b[\) est : \(b-a\).
Le centre de la classe \([a, b[\) est : \(\dfrac{a+ b}{2}\).
Exemple :
On donne la classe suivante : \([15, 21[\).
Sa borne inférieure est \(15\) ;
Sa boren supérieure est \(21\) ;
Son amplitude est : \(21 - 15 = 6\) ;
Son centre est : \(\dfrac{36}{2}\) = \(8\)
Exercice
Question⚓
On donne la classe suivante : \([150, 161[\).
Détermine sa borne inférieure, sa borne supérieure, son amplitude et son centre.
Traduis en terme d'inégalité : \(x\in [ 150, 161[\).
Classement et représentation des données statistiques⚓
Distribution groupée en classes d'égale amplitude⚓
Définition :
L'effectif d'une classe est le nombre d'individus pour lesquels la modalité du caractère appartient à la classe.
La fréquence d'une classe est le rapport de l'effectif de la classe par l'effectif total.
Fréquence d'une classe = \(\dfrac{effectif~~ de~~ la ~~classe}{effectif ~~total}\)
Exemple :
Une association désirant faire une étude sur l'âge de ses adhérents a relevé les âges suivants :
\(34-59-45-32-59-20-64-27-32-40-48-34-56-69-37-31-35-49-41-28-28-59-30-48-49-47-25-27-52-34\).
La borne inférieure de la première classe est : \(20\). L'amplitude étant \(10\), la borne supérieure de la première classe est : \(30\).
Ainsi, les classes de cette série sont : \([20, 30[\) ; \([30, 40[\) ; \([40, 50[\) ; \([50, 60[\) ;\([60, 70[\).
Tableau des âges, des effectifs, des fréquences et des centres des classes :
âges | \([20, 30[\) | \([30, 40[\) | \([40, 50[\) | \([50, 60[\) | \([60, 70[\) |
effectif | \(6\) | \(9\) | \(8\) | \(5\) | \(2\) |
fréquence | \(0,2\) | \(0,3\) | \(0,27\) | \(0,17\) | \(0,06\) |
centre de la classe | \(25\) | \(35\) | \(45\) | \(55\) | \(65\) |
Nota Bene :
Les données de cette série sont groupées en classes d'égale amplitude.
Les classes peuvent être présentées sous forme d'encadrement du type : \(20\leq x <30\)
Histogramme⚓
Définition :
Un histogramme d'une série statistique groupées en classes d'amplitude égale est un diagramme à bandes juxtaposées tel que :
les bandes ont la même base ;
la hauteur de chaque bande représente l'effectif de la classe considérée.
Méthode :
Exemple :
Voici la répartition des tailles des enfants d'un club de sport.
Ainsi 4 enfants mesurent entre \(130\) \(cm\) et \(140\) \(cm\).
Distance (en m) | \([130 ;140[\) | \([140 ;150[\) | \([150 ;160[\) |
Effectif | \(4\) | \(10\) | \(6\) |
Représente l'histogramme des effectifs de cette série.
Solution
Je choisis une échelle (si elle n'est pas donnée dans l'énoncé).
Je trace un repère orthogonal en fonction de l'échelle ;
Les classes sont sur l'axe des abscisses et les effectifs sur l'axe des ordonnées.
Je construis les bandes juxtaposées.
la hauteur de chaque bande est proportionnelle à l'effectif de la classe considérée.
Nota Bene :
De la même manière que l'exemple ci-dessus, on construit l'histogramme des fréquences.
Tableaux des effectifs cumulés, diagrammes⚓
Définition :
Effectifs cumulés croissants
La série étant ordonnée, l'effectif cumulé croissant (ECC) d'une modalité est la somme des effectifs des modalités inférieures ou égales à cette modalité.
Effectifs cumulés décroissants
La série étant ordonnée, l'effectif cumulé décroissant (ECD) d'une modalité est la somme des effectifs des modalités supérieures ou égales à cette modalité.
Exemple :
Dans un collège, une enquête sur l'âge des élèves d'un club scientifique a donné les résultats consignés dans le tableau ci-contre
Âges (en années) | \(12\) | \(13\) | \(14\) | \(15\) | \(16\) |
Effectifs | \(7\) | \(10\) | \(12\) | \(17\) | \(22\) |
L'effectif cumulé croissant de la modalité \(14\) est : \(7 + 10 + 12 = 29\).
L'effectif cumulé décroissant de la modalité \(14\) est : \(12 + 17 + 22 = 51\)
Je complète le tableau par la ligne des ECC et la ligne des ECD.
Âges (en années) | \(12\) | \(13\) | \(14\) | \(15\) | \(16\) |
Effectifs | \(7\) | \(10\) | \(12\) | \(17\) | \(22\) |
ECC | \(7\) | \(17\) | \(29\) | \(46\) | \(68\) |
ECD | \(68\) | \(61\) | \(51\) | \(39\) | \(22\) |
Méthode :
Voici une méthode de remplissage du tableau des effectifs cumulés.
Effectifs cumulés croissants (ECC)
Effectifs cumulés décroissants (ECD)
Exemple : Diagrammes des ECC et des ECD
La répartition des âges d'un groupe d'adolescents est donnée par le tableau ci-contre :
Âges | \([13;14[\) | \([14 ;15[\) | \([15;16[\) | \([16 ;17[\) |
Effectifs | \(8\) | \(12\) | \(16\) | \(14\) |
ECC | \(8\) | \(20\) | \(36\) | \(50\) |
ECD | \(50\) | \(42\) | \(30\) | \(14\) |
Les points extrêmes des deux courbes forment un rectangle.
Le 1er point de la courbe des ECC est \((13 ; 0)\).
Le dernier point de la courbe des ECD est \((17 ; 0).\)
Les deux courbes sont symétriques par rapport à l'axe passant par le point d'intersection et parallèle à l'axe des abscisses.
Tableaux des fréquences cumulées, diagrammes⚓
Définition :
Fréquences cumulées croissantes
La série étant ordonnée, la fréquence cumulée croissante (FCC) d'une modalité est la somme des fréquences des modalités inférieures ou égales à cette modalité.
Fréquences cumulées décroissantes
La série étant ordonnée, la fréquence cumulée décroissante (FCD) d'une modalité est la somme des fréquences des modalités supérieures ou égales à cette modalité.
Exemple :
Le nombre de paires de chaussures de dame vendues en fonction de la pointure dans une boutique en une semaine est présenté dans le tableau ci-dessous :
Pointure | \(35\) | \(36\) | \(37\) | \(38\) | \(39\) | \(40\) | \(41\) | \(42\) |
Pourcentage des paires vendues (Fréquences en \((\%)\)) | \(17\) | \(20\) | \(10\) | \(13\) | \(18\) | \(10\) | \(5\) | \(7\) |
FCC | \(17\) | \(37\) | \(47\) | \(60\) | \(78\) | \(88\) | \(93\) | \(100\) |
FCD | \(100\) | \(83\) | \(63\) | \(53\) | \(40\) | \(22\) | \(12\) | \(7\) |
Ainsi,
la fréquence cumulée croissante de la modalité \(38\) est :\( 17 + 20 +10 + 13 = 60\).
la fréquence cumulée décroissante de la modalité \(38\) est : \(13 + 18 + 10 + 5 + 7 = 53\).
Exercice
Question⚓
Un jardinier fait le bilan de sa récolte d'oranges suivant leur diamètre. les résultats sont présentés dans le tableau ci-dessous :
Diamètre ( en \(mm\)) | \([60; 64[\) | \([64; 68[\) | \([68; 72\) | \([72; 76\) | \([76; 80\) |
Pourcentage (Fréquences en \((\%)\)) | \(20\) | \(28\) | \(22\) | \(18\) | \(12\) |
FCC | |||||
FCD |
Complète le tableau par la ligne des FCC et la ligne des FCD.
Exemple : Diagrammes des FCC et des FCD
On donne la série statistique suivante. Nous voulons construire le diagramme (polygone) des fréquences cumulées croissantes.
Classe | \([5; 8[\) | \([8; 11[\) | \([11; 14\) | \([14; 17\) | \([17; 20\) | \([20; 23\) |
Fréquences en \((\%)\) | \(10\) | \(14\) | \(37\) | \(5\) | \(23\) | \(11\) |
FCC | \(10\) | \(24\) | \(61\) | \(66\) | \(89\) | \(100\) |
Pour construire le diagramme des FCC :
On trace un repère orthogonal, avec sur l'axe des abscisses, les classes, et sur l'axe des ordonnées, les fréquences ;
On choisit une échelle permettant de bien lire les la figure ;
On place sur le graphe les points de coordonnées : \((5 ;0)\) ; \((8 ; 0,1)\) ; \((11 ; 0,24)\) ; \((14 ; 0,61)\) ; \((17 ; 0,66)\) ; \((20 ; 0,89)\) ; \((23 ;1\) .
On relie les points par des segments de droites.
Paramètres de position⚓
Définition :
Les paramètres de position indiquent la valeur “typique” autour de laquelle les observations sont réparties. Les deux paramètres de position les plus importants sont la moyenne et la médiane.
Classe modale et moyenne⚓
Définition :
La classe modale d'une série statistique groupée en classe est la classe qui a le plus grand effectif.
Pour calculer la moyenne d'une série statistique groupée en classe, on utilise les centres de classes et les effectifs.
Exemple :
Le tableau ci-dessous représente la répartition des notes de mathématiques lors d'un devoir.
Notes sur \(20\) | \(6\) | \(8\) | \(9\) | \(12\) | \(15\) | \(18\) |
Nombre d'élèves | \(6\) | \(2\) | \(9\) | \(15\) | \(4\) | \(9\) |
Le mode de cette série est : \(15\).
La moyenne de cette série est : \(\dfrac{(6\times6) + (8\times2) + (9\times9) + (12\times15) + (15\times4) + (18\times9)}{45}\), soit environ \(11,88\).
Exemple :
Le tableau ci-dessous représente la répartition des tailles de \(25\) élèves.
Tailles (en \(cm\)) | \([145; 150[\) | \([150; 155[\) | \([155; 160[\) | \([160; 165[\) | \([165; 170[\) |
Effectifs | \(1\) | \(5\) | \(5\) | \(8\) | \(6\) |
Centres des classes | \(147,5\) | \(152,5\) | \(157,5\) | \(162,5\) | \(167,5\) |
La classe modale de cette série est :\([160; 165[\).
La moyenne de cette série est : \(\dfrac{(147,5\times1) + (152,5\times5) + (157,5\times5) + (162,5\times8) + (167,5\times6)}{25}\) = \(160,1\).
La taille moyenne des élèves de la classe est : \(160,1\)\(cm\).
Nota Bene :
Une série peut avoir plusieurs modes.
Exemple : Série statistique simple
Médiane⚓
Définition :
Pour une série statistique ordonnée, toute valeur telle qu'on ait autant de modalités avant que de modalités après est appelée médiane de la série.
Si l'effectif total \(N\) de la série ordonnée est un nombre impair, alors la médiane de la série est la modalité de rang \(\dfrac{N + 1}{2}\).
Si l'effectif total \(N\) de la série ordonnée est un nombre pair, alors la moyenne des modalités de rang \(\dfrac{N}{2}\) et \(\dfrac{N}{2} + 1\) est une médiane. Dans ce cas, la médiane peut ne pas être une modalité de la série.
Définition :
Pour une série statistique groupées en classes d'égale amplitude, on détermine graphiquement la médiane à partir du polygone des effectifs cumulés ou des fréquences cumulées.
La médiane est alors l'abscisse du point du polygone des effectifs cumulés ou des fréquences cumulées qui a pour ordonnée la moitié de l'effectif total de la série.
La classe modale est la classe de la série qui contient la médiane de la série.
Définition :
Pour une série statistique groupées en classes d'égale amplitude, on détermine graphiquement les antécédents de \(\dfrac{N}{4}\), \(\dfrac{N}{2}\), \(\dfrac{3N}{4}\), à partir du polygone des effectifs cumulés ou des fréquences cumulées en utilisant le même procédé que celui de la détermination de la médiane.
L'antécédent de \(\dfrac{N}{2}\) est la médiane.
Exemple :
Une enquête sur l'âge des 23 adhérents d'un club a donné la liste ordonnée suivante :
\(14 ;14 ; 14 ; 14 ; 14 ; 14 ; 14 ; 14 ; 15 ; 15 ; 15 ; 15 ; 15 ; 15 ; 16 ; 16 ; 16 ; 16 ; 17 ;17 ; 17 ; 17 ; 17.\)
L'effectif total est : \(23\).
La médiane est la modalité qui occupe le rang \(\dfrac{23 + 1}{2}\) = \(12\), c'est-à-dire le 12e rang.
La médiane est donc \(15\).
Exemple :
Le tableau des fréquences cumulées de l’âge des employés d’une entreprise est :
Âges | \([20; 30[\) | \([30; 40[\) | \([40; 50[\) | \([50; 60[\) |
Fréquences (en \((\%)\)) | \(20\) | \(10\) | \(50\) | \(20\) |
FCC | \(20\) | \(30\) | \(80\) | \(100\) |
On lit sur le graphique, ci-dessous, que environs \(50\%\)des employés ont moins de \(44\) \(ans\). L’âge médian est donc environ \(44\)
Exemple :
Une enquête sur l'âge des 24 adhérents d'un club a donné la liste ordonnée suivante :
\(14 ;14 ; 14 ; 14 ; 14 ; 14 ; 14 ; 14 ; 15 ; 15 ; 15 ; 15 ; 15 ; 15 ; 16 ; 16 ; 16 ; 16 ; 17 ;17 ; 17 ; 17 ; 17 ; 17\)
L'effectif total est : \(24\).
Le premier quartile \(Q_1\)est égal à : \(14\) ;
le deuxième quartile \(Q_2\) est la médiane : \(15\) ;
le troisième quartile \(Q_3\) est égal à : \(16\).