Définition :
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions numériques d'une variable réelle. On définit la composée de \(f\) par \(g\) notée \(g\circ f\) par:
pour tout \(𝑥\in {\rm D}_f \text{ tel que } f(x)\in {\rm D}_g,\ (𝑔\circ𝑓)(x)=g[f(x)] .\)
Exemple :
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions numériques d'une variable réelle définies par :
\(f(x)=x^2-3x+2\ \)et \(\ g(x)=\dfrac 1x\).
On a : \({\rm D}_f=\mathbb R\) et \({\rm D}_g=\mathbb R\setminus \{0\}\).
Déterminons \({\rm D}_{g\circ f}\).
\(x\in {\rm D}_{g\circ f}\) lorsque \(x\in {\rm D}_f\) et \(f(x)\in {\rm D}_g\) c'est-à-dire \(x\in{\mathbb R}\) et \(x^2-3x+2\neq 0\).
Il s'ensuit \({\rm D}_{g\circ f}={\mathbb R}\setminus \{1,2\}\).
On a : pour tout \(x\in{\mathbb R}\setminus \{1,2\} \), \(g\circ f(x)=\dfrac 1{x^2-3x+2}\).
Méthode : Calcul de la dérivée de la composée
Si la fonction \(f\) est dérivable en \(x\) et la fonction \(g\) dérivable en \(f(x)\), alors la fonction composée \(g\circ f\) est dérivable en \(x\) et on a : \(\ (g\circ f)'(x)=f'(x)\times g'[f(x)]\).
Exemple :
1. Soit \(f(x)=2x+1\) et \(g(x)=\sin(x)\).
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(\forall \, 𝑥\in\mathbb{R}\ f'(x)=2\).
\(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(\forall \, 𝑥\in\mathbb{R}\ g'(x)=\cos(x).\)
Alors \(𝑔\circ𝑓\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \((𝑔\circ𝑓)'(x) =2\cos(2x+1).\)
2. Soit \(h(x)=\sqrt{x^{2}-3x+5}\).
Montrons que \(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculons \(h'(x)\).
Soit \(f(x)=x^{2}-3x+5\) et \(g(x)=\sqrt{x}\). Alors \(h(x)= (𝑔\circ𝑓)(x)\).
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme fonction polynôme, \(\forall \, 𝑥\in\mathbb{R}\) \(f'(x)=2x-3\).
De plus \(f\) est strictement positive sur \(\mathbb{R}\).
\(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^{\ast}_{+}\) et \(g'(x)=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\).
Alors \(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(h'(x)=\displaystyle\frac{2x-3}{2\sqrt{x^{2}-3x+5}}\).
Dérivées successives⚓
Définition :
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\). Sa dérivée \(f'\) peut être elle-même dérivable sur \(I\). Dans ce cas, on dit que \(f\) est deux fois dérivable sur \(I\) et on appelle alors dérivée seconde (ou dérivée d'ordre 2) de \(f\) la dérivée de \(f'\); on la note \(f''\) (ou \(f^{(2)})\) . Cette fonction peut être elle-même dérivable, etc.
Si \(f\) est \(k\) fois dérivable, on note \( f^{(k)}\) sa dérivée d'ordre \(k\), ou dérivée \(k\)-ième.
Par définition, la dérivée d'ordre \(0\) est la fonction elle-même.
\(f^{(k)}=(f^{(k-1)})'\)
Exemple :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=x^{4}-3x^{3}+5x^{2}\).
Les dérivées première, seconde, d'ordre 3, sont respectivement :
\(f'(x)=4x^{3}-9x^{2}+10x\), \(f''(x)=12x^{2}-18x+10\), \(f^{(3)}(x)=24x-18\).