Définition :

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions numériques d'une variable réelle. On définit la composée de \(f\) par \(g\) notée \(g\circ f\) par:

pour tout \(𝑥\in {\rm D}_f \text{ tel que } f(x)\in {\rm D}_g,\ (𝑔\circ𝑓)(x)=g[f(x)] .\)

Exemple :

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions numériques d'une variable réelle définies par :

\(f(x)=x^2-3x+2\ \)et \(\ g(x)=\dfrac 1x\).

On a : \({\rm D}_f=\mathbb R\) et \({\rm D}_g=\mathbb R\setminus \{0\}\).

Déterminons \({\rm D}_{g\circ f}\).

\(x\in {\rm D}_{g\circ f}\) lorsque \(x\in {\rm D}_f\) et \(f(x)\in {\rm D}_g\) c'est-à-dire \(x\in{\mathbb R}\) et \(x^2-3x+2\neq 0\).

Il s'ensuit \({\rm D}_{g\circ f}={\mathbb R}\setminus \{1,2\}\).

On a : pour tout \(x\in{\mathbb R}\setminus \{1,2\} \), \(g\circ f(x)=\dfrac 1{x^2-3x+2}\).

Méthode : Calcul de la dérivée de la composée

Si la fonction \(f\) est dérivable en \(x\) et la fonction \(g\) dérivable en \(f(x)\), alors la fonction composée \(g\circ f\) est dérivable en \(x\) et on a : \(\ (g\circ f)'(x)=f'(x)\times g'[f(x)]\).

Exemple :

1. Soit \(f(x)=2x+1\) et \(g(x)=\sin(x)\).

\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(\forall \, 𝑥\in\mathbb{R}\ f'(x)=2\).

\(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(\forall \, 𝑥\in\mathbb{R}\ g'(x)=\cos(x).\)

Alors \(𝑔\circ𝑓\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et  \((𝑔\circ𝑓)'(x) =2\cos(2x+1).\)

2. Soit \(h(x)=\sqrt{x^{2}-3x+5}\).

Montrons que \(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculons \(h'(x)\).

Soit \(f(x)=x^{2}-3x+5\) et \(g(x)=\sqrt{x}\). Alors \(h(x)= (𝑔\circ𝑓)(x)\).

\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme fonction polynôme, \(\forall \, 𝑥\in\mathbb{R}\) \(f'(x)=2x-3\).

De plus \(f\) est strictement positive sur \(\mathbb{R}\).

\(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^{\ast}_{+}\) et \(g'(x)=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\).

Alors \(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(h'(x)=\displaystyle\frac{2x-3}{2\sqrt{x^{2}-3x+5}}\).