Définition et propriétés⚓
Définition⚓
Soit \(\Omega\) un ensemble fini. On appelle probabilité sur \((\Omega,\mathcal{P}(\Omega))\) toute application \(P\) de \(\mathcal{P}(\Omega)\) dans \([0,1]\) vérifiant:
\(P(\Omega)=1\).
Si \(A\) et \(B\) sont deux événements incompatibles, alors \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\) (additivité de \(P\)).
Le triplet \((\Omega,\mathcal{P}(\Omega),P)\) est appelé espace probabilisé.
Propriétés⚓
La probabilité de l'événement impossible est nulle: \(P(\emptyset)=0\).
La probabilité de l'événement contraire de tout événement \(A\) est égale à \(1 -P(A)\), c'est-à-dire
\(\qquad\forall A \in \mathcal{P}(\Omega)\), \(P(\overline{A})=1-P(A).\)
La probabilité d'une réunion finie d'événements deux à deux incompatibles est égale à la somme des
probabilités de ces événements: si \(A_{1},...,A_{n}\) sont \(n\) événements incompatibles deux à deux, alors
\(P\Big(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\Big)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}P(A_{k}).\)
La croissance de \(P\): si \(A\) et \(B\) sont des événements et si \(A\subset B\), alors \(P(A)\leq P(B)\).
Si \(A\) et \(B\) sont des événements quelconques, alors \(P(B\backslash A)=P(B)-P(A\cap B).\)
Si \(A\) et \(B\) sont des événements quelconques, alors \(P(A\cup B) = P(A) + P(B)-P(A \cap B)\).
Exemple :
Soient \(A\) et \(B\) deux événements. On donne \(P(A)=\displaystyle\frac{1}{4}\), \(P(B)=\displaystyle\frac{2}{5}\) et \(P(A\cap B)=\displaystyle\frac{3}{20}\). Calculer la probabilité de chacun des événements suivants:
1) \(A\) ou \(B\) se produit,
2) \(A\) seulement se produit,
3) ni \(A\), ni \(B\) ne se produisent,
4) \(A\) ou \(B\) mais un seulement des deux événements.
\(\textbf{Solution}\)
1) \(P(A\cup B)= P(A)+ P(B)-P(A\cap B)=\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{2}{5}-\displaystyle\frac{3}{20}.\)
Donc \(P(A\cup B)=\displaystyle\frac{1}{2}\).
2) \(P(A\backslash B)= P(A)-P(A\cap B)=\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{3}{20}.\)
Donc \(P(A\backslash B)=\displaystyle\frac{1}{10}\).
3) \(P(\overline{A}\cap \overline{B})= P(\overline{A\cup B})=1-P(A\cup B)=1-\displaystyle\frac{1}{2}.\)
Donc \(P(\overline{A}\cap \overline{B})=\displaystyle\frac{1}{2}\).
4) \(P[(A\backslash B) \cup (B\backslash A)]=P(A\backslash B) +P(B\backslash A)\) puisque les événements \(A\backslash B\) et \(B\backslash A\) sont incompatibles.
\(P(A\backslash B)=\displaystyle\frac{1}{10}\) d'après la question 2).
De plus \(P(B\backslash A) =P(B)-P(A\cap B)=\displaystyle\frac{2}{5}-\displaystyle\frac{3}{20}=\displaystyle\frac{1}{4}\).
Donc \(P[(A\backslash B) \cup (B\backslash A)]=\displaystyle\frac{7}{20}\).
Probabilités conditionnelles⚓
Définition :
Soient \((\Omega,\mathcal{P}(\Omega),P)\) un espace probabilisé et \(B\) un événement de probabilité non nulle. Pour tout événement \(A\), on appelle probabilité conditionnelle de \(A\) sachant \(B\) (ou probabilité conditionnelle de \(A\) sachant que \(B\) est realisé) le nombre réel noté \(P(A/B)\) (ou \(P_{B}(A)\)) et défini par:
\(P(A/B)=\displaystyle\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\).
Attention :
Par définition, une probabilité conditionnelle est une probabilité. Toutes les propriétés vues précédemment restent valables pour les probabilités conditionnelles.
A titre d'exemples, voici quelques unes de ces propriétés:
Si \(A,B\) et \(C\) sont trois événements tels que \(A\subset C\) et \(P(B)\neq 0\), alors \(P(A/B)\leq P(C/B)\).
\(P(\overline{A}/B)=1- P(A/B).\)
\(P[(A\cup C)/B]= P(A/ B)+ P(C/ B)-P[(A\cap C)/B].\)
Complément :
Si \((B_i)_{i\in \{1 ,...,\}}\) est une famille de \(n\) événements deux à deux incompatibles, dont la réunion est l'événement certain \(\Omega\) (système complet d'événements de \(\Omega\)), alors : \(\displaystyle P(A)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}P(A\cap B_i)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}P(A/B_i)P(B_i)\) (c'est la formule des probabilités totales).
Mais aussi, pour tout \(j\in \{1 ,...,n\}\): \(P(B_j/A)=\displaystyle\frac{P(B_j\cap A)}{P(A)}=\displaystyle\frac{P(A/B_j) P(B_j)}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}P(A/B_i) P(B_i)}\) (c'est la formule de Bayes).
Exemple :
Dans une usine, \(3\) machines \(A\), \(B\), \(C\) produisent le même type de pièces. De la production totale \(A\) produit \(30\%\), \(B\) en produit \(50\%\) et \(C\) en produit \(20\%\). Parmi les pièces fabriquées par \(A\), \(90\%\) sont de bonne qualité, pour \(B\) et \(C\) ces pourcentages sont \(80\%\) et \(95\%\) respectivement.
1) Calculer la probabilité pour qu'une pièce quelconque choisie dans la production soit de bonne qualité.
2) On choisit une pièce au hasard et on constate qu'elle est de bonne qualité. Quelle est la probabilité qu'elle ait été fabriquée par \(A\)? par \(B\)?
\(\textbf{Solution}\)
Soit \(A\) l'événement: "la pièce est produite par la machine \(A\)".
Soit \(B\) l'événement: "la pièce est produite par la machine \(B\)".
Soit \(C\) l'événement: "la pièce est produite par la machine \(C\)".
Soit \(Q\) l'événement: "la pièce est de bonne qualité".
Par hypothèse, on a: \(P(A)= 0,3\); \(P(B)=0,5\); \(P(C)=0,2\); \(P(Q/A)=0,9\); \(P(Q/B)=0,8\); \(P(Q/C)=0,95.\)
1) On veut \(P(Q)\).
Utilisant le système complet d'événements de probabilité non nulle \(\{A, B, C\}\), la formule des probabilités totales donne:
\(\begin{eqnarray*} P (Q)&=&P( Q/ A)P(A)+P( Q/B)P(B)+P( Q/ C)P(C)\\&=& 0,3\times0,9+0,5\times0,8+0,2\times0,95\\&=& 0,86 \end{eqnarray*}\)
Donc \(P (Q)=0,86.\)
2) Déterminons d'abord \(P(A/Q)\).
D'après la formule de Bayes
\(\begin{eqnarray*}P(A/Q)&=&\displaystyle\frac{P( Q/ A)P(A)}{P( Q/ A)P(A)+P(Q/B)P(B)+P( Q/ C)P(C)}\\&=& \displaystyle\frac{P( Q/ A)P(A)}{P(Q)}\\&=& 0,31.\end{eqnarray*}\)
Donc \(P(A/Q)=0,31.\)
Le calcul de \(P(B/Q)\) se fait de la même façon. On trouve \(P(B/Q)=0,47.\)
Indépendance⚓
Définition⚓
Deux événements \(A\) et \(B\) d'un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{P}(\Omega),P)\) tels que \(P(A)>0\) et \(P(B)>0\) sont dits indépendants si on a \(P(A/B) = P(A)\) et \(P(B/A) =P(B).\)
Complément :
Si \(A\) et \(B\) sont deux événements tels que \(P(A)>0\) et \(P(B)>0\), alors \(P(A/B)=P(A)\) si et seulement si\( P(B/A)=P(B)\).
Si les événements \(A\) et \(B\) sont indépendants alors \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) \((\diamond)\).
L'égalité \((\diamond)\) est souvent utilisée comme définition de l'indépendance de deux événements.
Il ne faut pas confondre l'indépendance et l'incompatibilité de deux événements \(A\) et \(B\) . L'indépendance est relative à la probabilité \(P\) choisie, alors que l'incompatibilité \((A\cap B=\emptyset)\) ne l'est pas.
Les événements \(A\) et \(B\) et \(C\) sont dits indépendants (ou mutuellement indépendants) si les quatre égalités suivantes sont vérifiées:
\(\begin{eqnarray*}P(A\cap B) &=& P(A)P(B)\\P(A\cap C) &=& P(A)P(C)\\P(B\cap C) &=& P(B)P(C)\\P(A\cap B\cap C) &=& P(A)P(B)P(C).\\\end{eqnarray*}\)
Propriétés⚓
Soient \(A\) et \(B\) deux événements indépendants. Il y a équivalence entre les quatres assertions suivantes:
\(A\) et \(B\) sont indépendants.
\(\overline{A}\) et \(B\) sont indépendants.
\(A\) et \(\overline{B}\) sont indépendants.
\(\overline{A}\) et \(\overline{B}\) sont indépendants.
Exemple :
Dans un couple quelconque, on considère les deux événements:
\(A\)=” Le mari est hypertendu” de probabilité \(0, 1\);
\(B\)=” la femme est hypertendue” de probabilité \(0, 2\).
On suppose que les deux événements sont indépendants. En outre, on dira que le couple est hypertendu si l'au moins des conjoints est hypertendu.
Calculer la probabilité pour que:
\(a)\) Le mari seulement soit hypertendu.
\(b)\) La femme seulement soit hypertendue.
\(c)\) Les deux soient hypertendus.
\(d)\) Le couple soit hypertendu.
\(e)\) Aucun des deux ne soit hypertendu.
\(\textbf{Solution}\)
\(a)\) Le mari seulement est hypertendu signifie que le mari est hypertendu mais pas la femme. On doit donc calculer \(P(A\backslash B)\).
\(P(A\backslash B)=P(A\cap \overline{B})=P(A)\times P( \overline{B})=0,1\times 0,8=0,08.\)
Donc \(P(A\backslash B)=0,08\).
\(b)\) La femme seulement est hypertendue signifie que la femme est hypertendue mais pas l'homme. On doit donc calculer \(P(B\backslash A)\).
\(P(B\backslash A)=P(B\cap \overline{A})=P(B)\times P( \overline{A})=0,2\times 0,9=0,18.\)
Donc \(P(B\backslash A)=0,18\).
\(c)\) Les deux sont hypertendus signifie que l'homme et la femme sont hypertendus. On doit donc calculer \(P(A\cap B)\).
\(P(A\cap B)=P(A)\times P( \overline{B})=0,1\times 0,2=0,02.\)
Donc \(P(A\backslash B)=0,02\).
\(d)\) Le couple est hypertendu signifie que l'homme est hypertendu ou la femme est hypertendue. On doit donc calculer \(P(A\cup B)\).
\(P(A\cup B)=P(A) + P(B)-P(A\cap B)=P(A) + P(B)-P(A)\times P( B)=0,1+0,2- 0,02=028\).
Donc \(P(A\cup B)=0,28\).
\(e)\) Aucun des deux n'est hypertendu signifie que ni l'homme n'est hypertendu ni la femme est hypertendue. On doit donc calculer \(P( \overline{A}\cap \overline{B})\).
\(P( \overline{A}\cap \overline{B})=P( \overline{A})\times P(\overline{B})=[1-P(A)]\times [1-P(B)]=0,9\times 0,8=0,72.\)
Donc \(P( \overline{A}\cap \overline{B})=0,72\).