Equations différentielle de la forme y'(x)=a(x)y(x) avec a une fonction de x (admettant une primitive)

On procède comme précédemment en multipliant par \({\rm e}^{-A(x)}\) où \(A\) désigne une primitive de \(a\). On obtient que \(x\mapsto {\rm e}^{-A(x)}y(x)\) est constante.

Proposition :

Les solutions de l'équation différentielle \(y'(x)=a(x)y(x)\) sur l'intervalle \(I\) contenant \(x_0\) sont les fonctions

\(x\mapsto C{\rm e}^{\int_{x_0}^{x}a(t){\rm d}t}\quad avec\quad C\in\mathbb R\)

Exemple :

Soit \(y'=\dfrac{a}{x} y\) définie sur \(\mathbb{R}^*_- \cup \mathbb{R}^*_+.\)

Sur chacun de ces intervalles, les solutions sont les fonctions \(x\mapsto C{\rm e}^{\alpha\ln|x|}=C|x|^\alpha\) avec \(C\) une constante réelle qui dépend de l'intervalle sur lequel on se place pour résoudre l'équation.

Une conséquence de cette résolution explicite est le théorème d'existence et d'unicité suivant.

Proposition :

Pour tout \((x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2\), il existe une unique solution \(y\) de l'équation \(y'(x)=a(x)y(x)\) vérifiant la condition initiale \(y(x_0)=y_0\) et cette solution est:

\(x\mapsto y_0{\rm e}^{\int_{x_0}^{x}a(t){\rm d}t}\)