Principes et méthodes de la chronologie absolue en géologie

Décroissance exponentielle du nombre de noyaux radioactifs :

Soit \(n(t)\), le nombre de noyaux présents dans un échantillon d'isotopes radioactifs à une date \(t\).

La vitesse de désintégrations nucléaires spontanées dans le temps est proportionnelle au nombre de noyaux \(n(t)\).

Cela se représente par l'équation différentielle suivante :

\(\dfrac{{\rm d}n(t)}{{\rm d}t}=-\lambda\, n(t)\).

Le membre de gauche représente une dérivée par rapport au temps de la fonction \(n\) ; on peut la noter \(n'\) ce qui nous ramène à l'équation \(n'=-\lambda\, n\) (qui est une équation du type \(y'=a\, y\)).

Pour résoudre une telle équation on peut procéder comme suit :

\(y'=a\,y\) ce qui se réécrit \(\dfrac{y'}y=a\). En intégrant de part et d'autre on a \(\displaystyle\int_{t_0}^t\dfrac{y'}y\,{\rm d}s=\displaystyle\int_{t_0}^ta\,{\rm d}s\). Pour simplifier l'écriture nous nous plaçons dans le cas \(y>0\) pour ne pas avoir à écrire tout le temps \(|y|\) (justifié ici par le fait que \(n>0\)).

On obtient donc \(\ln (y)-\ln(y(t_0)) = a(t-t_0)\), soit \(\ln(y)=a\cdot t +\ln(y(t_0))-a\cdot t_0\).

En passant à l'exponentielle (afin de déterminer \(y\)), on obtient \(y=y_0\cdot {\rm e}^{a\cdot t}\) où \(y_0={\rm e}^{\ln(y(t_0))-a\cdot t_0}\).

La solution de cette équation différentielle est la loi de décroissance radioactive. D'après ci-dessus, en substituant \(y\) par \(n\), on a

\({\color{white}.}\qquad\qquad\qquad n(t)=n_0\cdot{\rm e}^{-\lambda t}\).

\(n_0\) est le nombre de noyaux présents dans l'échantillon d'isotopes radioactifs à l'instant \(t=0\) (instant initial).

Temps de désintégration radioactive :

C'est la durée \(t\) nécessaire pour qu'il reste une quantité \(N\) de noyaux radioactifs. Il est obtenu comme suit :

\(N(t)=N=n_0\cdot{\rm e}^{-\lambda t}\) il vient \({\rm e}^{-\lambda t}=\dfrac N{n_0}\). Par suite on a

\(t=-\dfrac 1\lambda \ln(N/n_0)\).

Cas particulier : Le temps de demi-vie radioactive :

D'après ci-dessus, le temps de demi-vie radioactive est donnée par

\(t=\dfrac 1\lambda \ln(2)\).