Equations différentielles⚓
Définition : Généralités
Une équation différentielle est une équation reliant une fonction et ses dérivées successives.
L'ordre de dérivation le plus élevé apparaissant dans l'équation est appelé ordre de l'équation différentielle.
Une équation différentielle linéaire à coefficients constants se présente sous la forme \(\quad a_{n}y^{(n)}+\cdots +a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=b\) où \(a_0, a_1, \ldots a_n\) sont des réels et \(b\) une fonction numérique continue.
La fonction \(b\) est appelée second membre de l'équation.
Une équation différentielle dont le second membre est nul est dite homogène.
Exemple :
\(y''-8y'+15y=0\) est une équation différentielle linéaire d'ordre \(2\) qui est homogène.
\(y'+y=x+1\) est une équation différentielle linéaire du premier ordre non homogène.
Définition :
Résoudre (ou intégrer) une équation différentielle consiste à déterminer toutes les fonctions la vérifiant.
Équations différentielles linéaires d'ordre 1⚓
Equations différentielle de la forme y'(x) = a y(x) avec a constante.⚓
Cette équation différentielle est la plus simple à résoudre car on reconnaît la définition de l'exponentielle. Plus précisément, cette équation est équivalente à
\({\rm e}^{-ax}(y'(x)-ay(x))=0\) c'est-à-dire que \({\rm e}^{-ax}y(x)\) est constante.
Proposition :
Les solutions de l'équation différentielle \(y'(x)=ay(x)\) sont les fonctions
\(x\mapsto C{\rm e}^{ax},\quad avec\quad C\in\mathbb{R}\)
Pour plus de détails, regarder la vidéo ci-dessous.
Equation différentielle d'ordre 1 : Loi de décroissance radioactive⚓
Exemple : Loi de décroissance radioactive
Décroissance exponentielle du nombre de noyaux radioactifs :
Soit \(n(t)\), le nombre de noyaux présents dans un échantillon d'isotopes radioactifs à une date \(t\).
La vitesse de désintégrations nucléaires spontanées dans le temps est proportionnelle au nombre de noyaux \(n(t)\).
Cela se représente par l'équation différentielle suivante :
\(\dfrac{{\rm d}n(t)}{{\rm d}t}=-\lambda\, n(t)\).
Le membre de gauche représente une dérivée par rapport au temps de la fonction \(n\) ; on peut la noter \(n'\) ce qui nous ramène à l'équation \(n'=-\lambda\, n\) (qui est une équation du type \(y'=a\, y\)).
Pour résoudre une telle équation on peut procéder comme suit :
\(y'=a\,y\) ce qui se réécrit \(\dfrac{y'}y=a\). En intégrant de part et d'autre on a \(\displaystyle\int_{t_0}^t\dfrac{y'}y\,{\rm d}s=\displaystyle\int_{t_0}^ta\,{\rm d}s\). Pour simplifier l'écriture nous nous plaçons dans le cas \(y>0\) pour ne pas avoir à écrire tout le temps \(|y|\) (justifié ici par le fait que \(n>0\)).
On obtient donc \(\ln (y)-\ln(y(t_0)) = a(t-t_0)\), soit \(\ln(y)=a\cdot t +\ln(y(t_0))-a\cdot t_0\).
En passant à l'exponentielle (afin de déterminer \(y\)), on obtient \(y=y_0\cdot {\rm e}^{a\cdot t}\) où \(y_0={\rm e}^{\ln(y(t_0))-a\cdot t_0}\).
La solution de cette équation différentielle est la loi de décroissance radioactive. D'après ci-dessus, en substituant \(y\) par \(n\), on a
\({\color{white}.}\qquad\qquad\qquad n(t)=n_0\cdot{\rm e}^{-\lambda t}\).
\(n_0\) est le nombre de noyaux présents dans l'échantillon d'isotopes radioactifs à l'instant \(t=0\) (instant initial).
Temps de désintégration radioactive :
C'est la durée \(t\) nécessaire pour qu'il reste une quantité \(N\) de noyaux radioactifs. Il est obtenu comme suit :
\(N(t)=N=n_0\cdot{\rm e}^{-\lambda t}\) il vient \({\rm e}^{-\lambda t}=\dfrac N{n_0}\). Par suite on a
\(t=-\dfrac 1\lambda \ln(N/n_0)\).
Cas particulier : Le temps de demi-vie radioactive :
D'après ci-dessus, le temps de demi-vie radioactive est donnée par
\(t=\dfrac 1\lambda \ln(2)\).
Equations linéaires d'ordre 2⚓
Méthode : Équations homogènes à coefficients constants
Commençons par chercher les solutions exponentielles de l'équation linéaire à coefficients constants \(ay''+by'+cy=0\). On vérifie alors que \(x\mapsto {\rm e}^{rx}\)
est solution si et seulement si \(ar^2+br+c=0\). Cela nous amène à la proposition suivante.
Proposition :
Considérons l'équation \(ay''+by'+cy=0\) avec \(a,b,c\in\mathbb R\) et \(a\neq 0\). Soit \(\Delta\) le discriminant de l'équation caractéristique \(ar^2+br+c=0\) et \(r_1,r_2\) les racines (éventuellement égales) de celle-ci.
Si \(\Delta>0\), alors les solutions sont les fonctions \(x\mapsto A{\rm e}^{r_1x}+B{\rm e}^{r_2x}\) avec \(A,B\in\mathbb R\).
Si \(\Delta=0\), alors les solutions sont les fonctions \(x\mapsto (Ax+B){\rm e}^{r_1x}\), avec \(A,B\in\mathbb R\).
Si \(\Delta<0\), alors les solutions sont les fonctions \(x\mapsto \big(A\cos(\Im (r_1)x)+B\sin(\Im (r_1)x)\big){\rm e}^{\Re e(r_1)x},\) avec \(A,B\in\mathbb R\).
Remarque :
Dans le dernier cas, on peut aussi écrire les solutions sous la forme
\(x\mapsto A\cos(\Im m(r_1)x+\varphi){\rm e}^{\Re e(r_1)x},\)
avec \(A,\varphi\in\mathbb R\),\( \varphi\) étant appelé le déphasage de la solution.
Pour plus de détails veuillez visionner la vidéo suivante
Exemple : Résolution d'une équation du second ordre homogène
Les solutions \(y''+y'+y=0\) sont les fonctions
\(x\longmapsto {\rm e}^{-\frac{1}{2}x}\left(A\cos\frac{\sqrt{3}}{2}x+B\sin\frac{\sqrt{3}}{2}x\right),\)
avec \(A,B\in\mathbb R.\)