Oscillations électriques libres amorties - Oscillations électriques forcées
Schéma du montage permettant de visualiser la tension aux bornes du dipôle RLC (voie YA) et l'intensité du courant (voie YB)
Courbe de tension observée sur l'écran de l'oscilloscope (voie YA ou voie YA)
On peut visualiser à la fois la courbe de tension \(u(t)=U_m \cos(\omega . t+\phi)\). et la courbe d'intensité \(i(t)=I_m \cos(\omega . t)\). dans le circuit.
Dans cette forme d'écriture, l'intensité est choisi comme référence, \(\phi\) est le déphasage entre l'intensité et la tension, \(\omega\) est la pulsation imposée par le générateur basse fréquence (GBF), t est le temps, \(U_m\) et \(I_m\) respectivement les valeurs maximales de la tension et de l'intensité.
Déterminer graphiquement la période T des oscillations et l'amplitude \(U_m\) de la tension observée à l'oscilloscope
Déphasage entre l'intensité et la tension⚓
Sur l'écran d'un oscilloscope bi-courbe, (Schéma du montage de la figure ci-dessus) on observe les courbes de la figure suivante
Réglage de l'oscilloscope : balayage horizontal : 1ms/division ; balayage vertical : 2V/division
La voie \(Y_B\) visualise la tension \(u_R(t)\) aux bornes de la résistance R. l'intensité du courant est obtenue par la loi d'ohm : \(i(t)=\frac{u_R}{R}=I_m \cos(\omega . t)\).
La tension en avance est celle qui atteint le premier son maximum. La tension en voie \(Y_A\), aux bornes du dipôle RLC, est en avance sur l'intensité visualisé en voie \(Y_B\). Le déphasage \(\phi\) est compté positivement. Dans le cas contraire, il est compté négativement et on parlera de retard de la tension.
A partir d'un réglage adéquat des courbes par rapport à l'axe centrale des dates, le déphasage est déterminé par la relation :
\(|\phi|=2\pi\frac{\Delta t}{T}\);
\(\Delta t\) est l'écart minimal de temps qui sépare les deux courbes évoluant dans le même sens..
T est la période des oscillations.
Pour \(\phi=0\) les courbes d'intensité et de tension atteignent en même temps leur maximum et leur minimum et s'annule en même temps : on est à la résonance électrique.
Pour \(\phi=\pi\), les courbes sont en opposition de phase ; maximum de l'un correspond au minimum de l'autre et les courbes s'annulent en même temps.
Détermination graphique du déphasage à partir des courbes d'intensité et de tension
Question⚓
Le circuit RLC série ci-dessous est celui d'un simulateur. la sonde rouge visualise la tension aux bornes de la résistance et la sonde bleu celle aux bornes du GBF ou du dipôle RLC. Les courbes observées respectent les couleurs des sondes.
Déterminer l'intensité maximale du courant électrique dans le circuit..
Quelle est le déphasage \(\phi\) entre l'intensité et la tension.
Impédance du dipôle RLC⚓
La loi d'ohm en courant alternatif peut s'écrire : \(Z=\frac{U_m}{I_m}=\frac{Ue}{Ie}\)
Z est appelé impédance du dipôle RLC, son unité est le ohm noté Ω.
\(Ie=\frac{I_m}{\sqrt 2}\) est l'intensité efficace, mesurée par un ampéremètre.
\(Ue=\frac{U_m}{\sqrt 2}\) est la tension efficace, mesurée par un voltmètre.
Selon la nature du dipôle, l'expression de l'impédance est modifiée ; exemples :
\(Z=\sqrt{(R+r)^2+(L\omega-\frac{1}{C\omega})^2}\)
\(Z=\sqrt{ (L\omega-\frac{1}{C\omega})^2}\)
\(Z=L\omega\)
\(Z=\frac{1}{C\omega}\)
Représentation de Fresnel⚓
Nous représentons à l'échelle comme il est indiqué sur la figure suivante les tensions aux bornes des différents dipôles. Les tensions aux bornes du condensateur et celle inductive (bobine pure) sont opposées. ; Ces deux tensions sont en quadrature de phase avec l'intensité c'est à dire la tension aux bornes de la résistance. La somme vectorielle des tensions permet de déterminer la tension aux bornes du dipôle RLC et le déphasage \(\phi\).
Nous avons considéré le cas où la résistance de la bobine n'est pas négligeable et les effets capacitif l'emporte sur les effets inductifs \(L\omega<\frac{1}{C\omega}\)
Remarque : pour une bobine pure, r = 0.
\(\cos\phi=\frac{R+r}{Z}\)
\(\sin\phi=\frac{L\omega-\frac{1}{C\omega}}{Z}\)
\(\tan\phi=\frac{L\omega-\frac{1}{C\omega}}{R+r}\)
Phénomènes de résonance électrique⚓
Le circuit RLC oscille avec une pulsation propre caractéristique du circuit \(\omega_0=\frac{1}{\sqrt {LC}}\).
Le générateur impose la pulsation \(\omega\) du GBF. La résonance électrique est obtenue lorsque la pulsation du GBF imposée est égale à la pulsation propre du circuit, on a : \(\omega=\omega_0\).
A la résonance, la valeur efficace de l'intensité est maximale et l'impédance Z est minimale et égale à la résistance totale du circuit, et on a :
Z=R et \(Ie=I_0=\frac{Ue}{Z}=\frac{Ue}{R}\).
\(L\omega=\frac{1}{C\omega}\)
Le déphasage est nul : \(\phi=0\)
La figure suivante montre l'évolution de l'intensité efficace en fonction de la pulsation du générateur basse fréquence. Pour une résistance totale du circuit R relativement faible, on a une courbe de résonance aiguë. Par contre, lorsque la résistance totale R devient considérable, la courbe devient de plus en plus plate ; le phénomène de résonance est moins accentué.
Complément : Bande passante
La bande passante \(\Delta\omega=\omega_2-\omega_1\) correspond à une zone de pulsation où l'intensité du courant est encore considérable. La qualité de la bande passante est d'autant plus bonne quelle est moins large. La bande passante est définie à partir de la relation suivante :
\(Ie=\frac{I_0}{\sqrt2}\)
ou encore
\(\frac{Ue}{Z}=\frac{Ue}{R\sqrt2}\)
ce qui conduit à l'équation suivante :
\(\sqrt { R^2+(L\omega-\frac{1}{C\omega} }=R\sqrt2\)
ce qui nous donne, après résolution de l'équation bicarré ::
\(\Delta \omega=\frac {R}{L}\)
Complément : Facteur de qualité
Le facteur de qualité Q ou acuité de la résonance est défini par l'expression suivante :
\(Q=\frac {\omega_0}{\Delta \omega}=\frac {L \omega_0}{R}=\frac{1}{RC \omega_0}=\frac {1}{R} \sqrt { \frac {L}{C} }\)
Ces différentes relations sont obtenues en tenant comte de la relation de résonance : \(L\omega_0=\frac{1}{C\omega_0}\)
Complément : Phénomènes de surtension
Si le générateur délivre une tension efficace Ue, à la résonance, il se produit des phénomènes de surtension aux niveaux du condensateur et de la bobine et on a :
la tension aux bornes du condensateur : \(U_C=\frac{Ue}{RC \omega_0}=QUe\)
la tension aux bornes de la bobine :\( U_L=\frac {L \omega_0.Ue}{R} =QUe\)
Les tensions efficaces aux bornes de la bobine et du condensateur sont supérieures à la tension efficace d'alimentation : il y a phénomènes de surtension.
Facteur de qualité - tensions aux bornes de la bobine et du condensateur
Question⚓
Le circuit RLC série ci-dessous est celui d'un simulateur. la sonde rouge visualise la tension aux bornes de la résistance et la sonde bleu celle aux bornes du GBF ou du dipôle RLC. Les courbes observées respectent les couleurs des sondes.
Identifier l'état de fonctionnement du circuit
Calculer les tension efficaces aux bornes du condensateur et de la bobine. Conclure.
Donner la valeur de l'impédance du circuit.
Puissance électrique⚓
Puissance instantanée
La puissance instantanée reçue par le dipôle RLC ou fournie par le générateur basse fréquence est donnée par la relation suivante :
\(P(t)=u(t).i(t)=U_m I_m \cos (\omega.t+\phi). \cos (\omega .t)\)
Puissance moyenne⚓
En tenant compte des relations trigonométrique et en calculant la puissance moyenne sur une période T, alors nous obtenons la relation suivante :
\(P_m=Ue.Ie.\cos\phi\)
Ue et Ie sont respectivement la tension et l'intensité efficace
\(K=\cos\phi=\frac {R}{Z}\) est appelé le facteur de qualité ; avec : \(0 \le K \le 1\).
Influence de la résistance sur l'intensité efficace et le déphasage⚓
Question⚓
Les oscillogrammes ci-dessous sont obtenues avec les mêmes caractéristiques du circuit ( N=100Hz, \(C=1\mu F\), L=0.1H), pour deux valeurs de la résistance indiquées sur les graphes ci-dessous
Identifier la couleur de la courbe d'intensité dans les deux graphes. justifier.
Déterminer la valeur de l'intensité efficace dans les deux cas. Conclure.
Déterminer le déphasage entre l'intensité et la tension dans les deux cas. Conclure.